AlgèbreNotion · Glossaire
Tour d'extension quadratique
Une tour d'extensions quadratiques est une suite d'extensions de corps K0 inclus dans K1 inclus dans ... inclus dans Kn où chaque extension Ki+1 sur Ki est de degré 2. La construction d'une tour d'extensions quadratiques permet d'atteindre certains corps à partir du corps de base par une suite d'opérations élémentaires (extraction de racines carrées). Ce concept est central dans le problème classique des constructions à la règle et au compas.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les corps et les degrés qui composent une tour quadratique.
- Vérifier sur ℚ ⊂ ℚ(√2) ⊂ ℚ(√2, √3) que le degré total vaut 4.
- Relier les extractions successives de racines carrées aux constructions à la règle et au compas.
- Distinguer une condition nécessaire sur le degré d'une preuve complète de constructibilité.
En clair
Partons d'une longueur unité. La diagonale d'un carré fournit √2 ; puis un nouveau triangle rectangle, construit avec des côtés 1 et √2, fournit √3. Chaque étape ajoute donc une seule racine carrée aux nombres déjà disponibles.
Une tour d'extensions quadratiques garde la trace algébrique de ces ajouts successifs. Le premier étage contient les nombres de départ, le suivant y ajoute √2, et le dernier y ajoute √3 sans perdre les nombres précédents. Cette succession explique le lien avec les constructions à la règle et au compas.
Définition
Une tour d'extensions quadratiques est une chaîne de corps emboîtés. Le corps de départ est noté K0, puis viennent K1, jusqu'au corps final Kn. Pour chaque indice i compris entre 0 et n − 1, Ki+1 est une extension de degré 2 de Ki : il possède donc une base de deux éléments lorsqu'on le considère comme espace vectoriel sur Ki.
Dans le cadre des constructions à la règle et au compas, le corps de départ est ℚ et les corps sont réels. Chaque étage peut alors s'obtenir en adjoignant la racine carrée d'un élément positif du corps précédent. L'exemple conducteur est ℚ inclus dans ℚ(√2), lui-même inclus dans ℚ(√2, √3).
La formule des degrés dans une tour donne le degré total en multipliant les degrés successifs. Une tour de n étages quadratiques a ainsi un degré total égal à 2n sur son corps de départ.
Un exemple, pas à pas
On part du corps K0 = ℚ. Les données sont √2 ∉ ℚ, K1 = ℚ(√2), √3 ∉ K1 et K2 = ℚ(√2, √3). Géométriquement, une longueur √2 est la diagonale d'un carré de côté 1 ; une longueur √3 est ensuite l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 1 et √2.
1. L'ajout de √2 donne .
2. L'ajout de √3 donne .
3. La formule de la tour multiplie ces deux degrés : .
2. L'ajout de √3 donne .
3. La formule de la tour multiplie ces deux degrés : .
Le résultat est un corps de degré 4 sur ℚ. Pour contrôler le second étage, supposons √3 = a + b√2 avec a et b rationnels. En élevant au carré, le terme en √2 impose ab = 0 ; les deux cas restants exigeraient soit a² = 3, soit b² = 3/2, impossibles pour des rationnels. Ainsi √3 n'appartenait pas déjà à K1.
En pratique
Pour certifier qu'une longueur est constructible à la règle et au compas, on peut décrire ses coordonnées par des additions, soustractions, multiplications, divisions et extractions successives de racines carrées. La tour consigne alors chaque nouvelle racine dans un étage distinct. Pour √3, l'alternative géométrique est le triangle rectangle de côtés 1 et √2, qui rend l'étape directement constructible.
Pour établir une impossibilité, le degré fournit un premier filtre. Tout nombre contenu dans une tour de n extensions quadratiques a sur ℚ un degré qui divise 2n. Un nombre de degré 3, comme ∛2, ne peut donc pas apparaître dans une telle tour ; ce constat intervient dans la duplication du cube. Si le degré est une puissance de 2, ce filtre ne suffit plus : il faut chercher effectivement une tour.
Pour une trisection d'angle, on traduit la construction visée en une équation portant sur les coordonnées du point recherché. Une trisection particulière peut réussir, mais la méthode générale exige de vérifier que la solution appartient à une tour quadratique ; le seul dessin ne tranche pas.
À ne pas confondre
Une extension quadratique unique. Elle ne comporte qu'un passage de degré 2. Une tour peut en comporter plusieurs : ℚ(√2, √3) est de degré 4 sur ℚ, bien que chacun des deux passages de l'exemple soit quadratique. Le critère est donc le degré de chaque étage, et non seulement celui du corps final.
Une suite de sous-corps quelconque. Des inclusions successives ne forment une tour d'extensions quadratiques que si chaque degré vaut exactement 2. Si deux corps consécutifs sont égaux, le degré de ce passage vaut 1 : cet étage doit être supprimé plutôt que compté comme quadratique.
Limites et pièges
Puissance de 2 ne signifie pas automatiquement constructible. Le degré d'un nombre constructible doit être une puissance de 2, mais cette condition seule ne construit pas les étages. Il faut exhiber une tour quadratique contenant le nombre, ou employer un critère équivalent adapté au problème.
L'extraction de racines carrées demande un cadre précis. Pour les constructions géométriques, on travaille avec des corps réels issus de ℚ et l'on adjoint des racines carrées d'éléments positifs. Dans un corps de caractéristique 2, une extension de degré 2 n'est pas nécessairement obtenue de cette manière ; il faut revenir à la définition par le degré.
Le corps final ne révèle pas une tour unique. Plusieurs choix d'éléments et plusieurs ordres d'adjonction peuvent mener au même corps. Le symptôme est une démonstration qui parle de « la » tour sans fixer ses corps intermédiaires ; il faut écrire explicitement chaque inclusion et vérifier chaque degré.
Pour aller plus loin
Le Degré d'une extension précise pourquoi les degrés se multiplient le long d'une tour et comment contrôler chaque étage.
Le théorème de Gauss-Wantzel prolonge l'étude des nombres constructibles à la règle et au compas.
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