AnalyseNotion · Glossaire
Contre-exemple
Un contre-exemple est un exemple particulier qui démontre la fausseté d'une proposition universelle. Pour réfuter un énoncé du type « pour tout x, P(x) », il suffit d'exhiber un seul élément admissible x0 pour lequel P(x0) est fausse.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la forme universelle d'un énoncé réfutable par un seul cas.
- Vérifier qu'un objet appartient bien au domaine avant de l'utiliser comme contre-exemple.
- Distinguer contre-exemple, simple exemple et preuve par l'absurde.
- Éviter de prendre une recherche infructueuse pour une démonstration.
En clair
On affirme que tous les nombres premiers sont impairs. Il suffit pourtant de regarder le nombre 2 : il est premier, puisqu'il n'a que deux diviseurs positifs, 1 et 2, mais il est pair. Ce seul nombre fait tomber l'affirmation entière.
Le nombre 2 est donc un contre-exemple. Il ne montre pas que les autres nombres premiers sont impairs ou non ; il établit seulement que le mot « tous » rendait l'énoncé faux.
Définition
Un contre-exemple est un objet particulier qui appartient au domaine d'un énoncé universel, mais ne possède pas la propriété annoncée. Notons x un objet du domaine et P(x) la propriété testée. L'énoncé universel et la forme de sa réfutation s'écrivent :
Autrement dit, un seul objet x0 admissible pour lequel la propriété est fausse suffit à réfuter l'énoncé. Il faut donc contrôler deux points : l'objet respecte toutes les hypothèses, puis la conclusion échoue effectivement. Un contre-exemple prouve la fausseté de l'énoncé visé ; il ne donne pas automatiquement une version correcte de cet énoncé. Cette démarche est centrale en mathématiques, aussi bien pour tester une conjecture que pour repérer une hypothèse manquante.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'affirmation : « Tout nombre premier est impair. » Les données à examiner sont le domaine, formé des nombres premiers, la propriété « être impair » et le nombre candidat 2.
1. Vérifions l'appartenance au domaine. Les diviseurs positifs de 2 sont exactement 1 et 2 ; le nombre 2 est donc premier.
2. Testons la propriété annoncée. Puisque 2 est divisible par 2, il est pair et n'est pas impair.
3. Comparons avec l'affirmation universelle. Le nombre 2 appartient bien au domaine, mais la propriété échoue : 2 est un contre-exemple.
Le verdict est donc que l'affirmation est fausse. Le contrôle se refait en deux questions indépendantes : « 2 est-il premier ? » puis « 2 est-il impair ? » La réponse oui, puis non, suffit.
En pratique
Avant de chercher à démontrer une affirmation contenant « tout » ou « toujours », on teste de petits cas, les valeurs aux bords et les objets atypiques. Si un cas admissible échoue, le contre-exemple remplace une tentative de preuve devenue inutile.
Quand un raisonnement semble correct, on confronte chaque hypothèse à la conclusion. Un exemple qui viole une hypothèse ne réfute rien ; on cherche alors un objet qui satisfait vraiment toutes les conditions annoncées.
Après une réfutation, on peut tenter de réparer l'énoncé. Dans l'exemple conducteur, remplacer « tout nombre premier » par « tout nombre premier autre que 2 » donne une proposition à démontrer, et non une conséquence automatique du contre-exemple.
À ne pas confondre
Un exemple. Il illustre qu'une propriété peut être vraie dans un cas, sans la prouver pour tous les cas. Ainsi, 3 est premier et impair, mais cela ne prouve pas que tous les nombres premiers sont impairs ; le nombre 2 tranche en sens contraire.
Une preuve par l'absurde. Elle suppose provisoirement le contraire de la conclusion, puis en déduit une contradiction. Un contre-exemple, lui, fournit directement un objet admissible qui met la conclusion en défaut.
Limites et pièges
Objet hors domaine. Le symptôme est qu'une hypothèse n'est pas respectée. Pour réfuter une affirmation sur les nombres premiers, un nombre composé ne convient pas ; il faut d'abord vérifier l'appartenance au domaine.
Recherche infructueuse. Ne trouver aucun contre-exemple parmi mille essais ne prouve pas un énoncé universel. Les tests donnent un indice ; seule une démonstration couvre tous les cas lorsque le domaine est infini.
Énoncé existentiel. Un cas où la propriété échoue ne réfute pas une affirmation disant qu'il existe au moins un cas favorable. Il faut alors montrer qu'aucun objet du domaine ne convient.
Conclusion trop large. Le nombre 2 réfute exactement « tout nombre premier est impair ». Il ne prouve pas que tous les nombres premiers sont pairs ; il faut limiter le verdict à la proposition effectivement testée.
Pour aller plus loin
La recherche de contre-exemples a profondément transformé l'analyse. Des fonctions continues partout mais nulle part dérivables, ainsi que des suites de fonctions continues convergeant ponctuellement vers une limite non continue, ont obligé à préciser les hypothèses des théorèmes. La fiche fonction continue donne le vocabulaire nécessaire pour aborder ces phénomènes.
L'article L'exception qui ne confirme pas la règle prolonge la réflexion sur le rôle logique d'un cas qui dément une affirmation générale.
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