matrice toute puissante

Prenons une matrice diagonale dont les deux nombres sont 16 et 81. Elle est le carré de la matrice diagonale formée de 4 et 9, mais aussi la quatrième puissance de celle formée de 2 et 3. Une matrice est toute puissante lorsque ce jeu ne s'arrête jamais : quel que soit l'entier choisi comme exposant, on peut trouver une matrice de même taille dont la puissance redonne exactement la matrice de départ.

Soit une matrice carrée notée A, à coefficients dans un corps fixé. Elle est dite toute puissante si, pour chaque entier naturel n supérieur ou égal à 1, il existe une matrice carrée B_n de même taille et à coefficients dans ce même corps telle que $A=B_n^{n}A=B\_n^n$. La matrice B_n est alors une racine n-ième matricielle de A. Il suffit qu'une seule racine existe pour chaque n ; ni son unicité ni une relation entre les différents choix ne sont exigées.

L'existence se décide à partir de la structure de A, et pas en prenant séparément la racine de chaque coefficient. Le spectre, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres, indique quelles racines scalaires devront être choisies. La décomposition de Jordan précise en plus comment les blocs associés à ces valeurs propres peuvent être enracinés. Le corps des coefficients fait partie du problème : une racine peut exister parmi les matrices complexes sans exister parmi les matrices réelles.

Cette propriété ne doit pas être assimilée à l'inversibilité. Certaines matrices inversibles échouent dans un corps donné, tandis que des matrices singulières idempotentes, qui vérifient A² = A, sont leurs propres racines pour tout n.

La notion réunit cinq éléments. La matrice de départ A est carrée. L'entier n est l'exposant demandé. La racine B_n doit avoir la même taille que A. Le corps des coefficients, réel ou complexe par exemple, fixe les nombres autorisés. Enfin, le spectre et les blocs de Jordan décrivent la structure interne qui gouverne l'existence des racines.

Le choix de B_n dépend donc à la fois de n et de la structure de A. Ses blocs doivent se recomposer, après élévation à la puissance n, en ceux de A. Ces données suffisent à poser le problème d'existence ; elles ne désignent pas nécessairement une racine unique.

Considérons une matrice réelle diagonale A de taille 2 × 2. Ses deux coefficients diagonaux sont 16 et 81 ; ses deux autres coefficients sont nuls.

1. Pour n = 2, prenons la matrice diagonale B₂ dont les coefficients diagonaux sont 4 et 9. En élevant chaque coefficient diagonal au carré, on retrouve 16 et 81.

2. Pour n = 4, prenons B₄ avec 2 et 3 sur la diagonale. Les égalités 2⁴ = 16 et 3⁴ = 81 donnent B₄⁴ = A.

3. Pour un entier quelconque n ≥ 1, choisissons les racines scalaires positives de 16 et de 81 :

Le contrôle est direct : la puissance n-ième d'une matrice diagonale élève chacun de ses coefficients diagonaux à la puissance n. On obtient donc B_nⁿ = A pour tout n ≥ 1. Cette construction prouve que A est toute puissante sur les réels. Le schéma de synthèse rassemble les racines choisies et la puissance qui ramène chacune à A.

Pour une matrice diagonale à coefficients strictement positifs, on construit une racine pour chaque n en prenant les racines scalaires positives sur la diagonale. C'est le contrôle le plus immédiat.

Si la matrice n'est pas déjà diagonale, on examine son spectre et une décomposition de Jordan. Cette analyse remplace la racine coefficient par coefficient, qui ne respecte généralement pas le produit matriciel.

Avant tout calcul, on fixe le corps des coefficients. Lorsque le problème exige des matrices réelles, l'absence d'une racine réelle pour un seul exposant suffit à écarter la propriété, même si une racine complexe existe.

Racine matricielle et racine coefficient par coefficient. Une racine matricielle B vérifie Bⁿ = A avec le produit matriciel. Prendre la racine de chaque entrée est une autre opération ; une multiplication de contrôle tranche immédiatement.

Admettre une racine et être toute puissante. Une racine carrée répond seulement au cas n = 2. La matrice est toute puissante uniquement si une racine existe pour chaque entier n ≥ 1.

Toute-puissance et inversibilité. L'inversibilité demande l'existence d'une matrice inverse. La toute-puissance demande des racines pour tous les exposants ; la matrice diagonale de diagonale 1 et 0 est singulière mais vérifie Aⁿ = A pour tout n.

Le corps doit être précisé. La matrice réelle 1 × 1 dont l'unique coefficient vaut −1 n'a pas de racine carrée réelle, mais elle en possède parmi les nombres complexes. Il faut donc tester les racines dans le corps annoncé.

Le spectre ne suffit pas toujours. Connaître les racines des valeurs propres ne garantit pas que les blocs se recomposeront correctement. Par exemple, le bloc de Jordan 2 × 2 nilpotent non nul n'a pas de racine carrée de même taille : toute matrice 2 × 2 dont le carré est nilpotent a ici des valeurs propres nulles, donc son carré serait nul.

Les racines ne sont pas uniques. La matrice identité a pour racines carrées l'identité et son opposée. La définition demande une existence pour chaque n, sans imposer une famille B_n unique ni compatible d'un exposant à l'autre.

Une matrice singulière peut convenir. Toute matrice idempotente vérifie Aⁿ = A dès que n ≥ 1. Choisir B_n = A fournit alors toutes les racines demandées, même lorsque A n'est pas inversible.

Le Spectre permet d'identifier les valeurs propres dont il faut choisir les racines avant d'étudier la compatibilité des blocs de Jordan.