identité des quatre carrés d'Euler

Écrivons deux fois le nombre 5 avec quatre carrés : 5 = 1² + 2² + 0² + 0² et 5 = 1² + 0² + 2² + 0². Leur produit vaut 25. L’identité d’Euler fournit directement quatre nouveaux nombres, ici 1, 2, 2 et 4, dont les carrés donnent encore ce produit : 25 = 1² + 2² + 2² + 4².

Autrement dit, la propriété « être une somme de quatre carrés » se conserve quand on multiplie deux nombres.

Prenons deux sommes de quatre carrés. Les quatre éléments de la première sont notés a₁, a₂, a₃ et a₄ ; ceux de la seconde sont notés b₁, b₂, b₃ et b₄. L’identité des quatre carrés d’Euler transforme leur produit en une nouvelle somme de quatre carrés.

Les quatre nouveaux éléments sont les combinaisons c₁, c₂, c₃ et c₄ définies par : On obtient alors l’égalité suivante :

Cette égalité est une identité : elle reste vraie pour toutes les valeurs choisies dans un anneau commutatif. Sur les réels, les quatre composantes peuvent aussi être vues comme celles d’un produit de quaternions ; la multiplicativité de leur norme donne la même relation.

Si un élément A est une somme de quatre carrés, A = a₁² + a₂² + a₃² + a₄², et si un élément B est une autre somme de quatre carrés, alors leur produit AB est lui aussi une somme de quatre carrés.

Les quatre termes de cette nouvelle somme ne sont pas obtenus en multipliant les carrés terme à terme. Ce sont les quatre combinaisons bilinéaires c₁, c₂, c₃ et c₄ données dans la définition.

L’identité algébrique s’applique lorsque les huit éléments appartiennent à un même anneau commutatif. Il faut disposer de deux écritures comportant chacune quatre carrés ; des termes nuls sont admis, comme dans les deux écritures de 5 utilisées ici. Le résultat fournit alors explicitement quatre éléments dont la somme des carrés est le produit.

Dans une structure où la multiplication n’est pas commutative, le réarrangement des produits croisés employé par cette formule n’est plus justifié. On ne peut donc pas y appliquer automatiquement la version écrite pour les anneaux commutatifs ; il faut revenir à une identité adaptée à la multiplication considérée.

Prenons les deux quadruplets (1, 2, 0, 0) et (1, 0, 2, 0). Chacun représente 5, car 1² + 2² + 0² + 0² = 5 et 1² + 0² + 2² + 0² = 5.

1. Calculons la première combinaison : c₁ = 1 × 1 − 2 × 0 − 0 × 2 − 0 × 0 = 1.

2. La deuxième vaut c₂ = 1 × 0 + 2 × 1 + 0 × 0 − 0 × 2 = 2.

3. La troisième vaut c₃ = 1 × 2 − 2 × 0 + 0 × 1 + 0 × 0 = 2.

4. La quatrième vaut c₄ = 1 × 0 + 2 × 2 − 0 × 0 + 0 × 1 = 4.

Le produit 5 × 5 est donc représenté par le quadruplet (1, 2, 2, 4). Le contrôle est direct : 1² + 2² + 2² + 4² = 1 + 4 + 4 + 16 = 25.

Pour construire une représentation du produit de deux entiers déjà écrits comme sommes de quatre carrés, on applique les quatre combinaisons de l’identité. Cette voie est préférable à une recherche au hasard lorsque les deux décompositions de départ sont connues.

Dans une démonstration arithmétique, l’identité sert à transmettre la propriété par multiplication. Elle intervient notamment dans la démonstration du théorème des quatre carrés de Lagrange, qui concerne tous les entiers naturels.

Sur les réels, le calcul peut aussi être organisé comme un produit de quaternions. Cette lecture est utile lorsque l’on travaille déjà avec leurs quatre composantes et leur norme.

L’identité d’Euler ne doit pas être confondue avec le théorème des quatre carrés de Lagrange. L’identité est une égalité de composition : elle part de deux sommes de quatre carrés et en construit une troisième pour leur produit. Le théorème de Lagrange est un résultat d’existence : il affirme que tout entier naturel possède une telle écriture. Pour 25 obtenu à partir de 5 × 5, la formule construit l’écriture ; le théorème, lui, affirme seulement qu’une écriture existe.

Un terme nul n’est pas un échec de la formule. Les quadruplets (1, 2, 0, 0) et (1, 0, 2, 0) restent bien des sommes de quatre carrés ; il faut conserver les zéros dans les calculs pour respecter la place de chaque composante.

La formule fournit une décomposition du produit, mais elle n’affirme ni qu’elle est unique ni que ses quatre carrés sont non nuls. Si l’on cherche toutes les représentations possibles d’un entier, il faut donc poursuivre l’étude au-delà de la seule composition obtenue.

Le simple produit terme à terme donne, pour l’exemple, (1, 0, 0, 0), dont la somme des carrés vaut 1 et non 25. Il faut employer les quatre combinaisons avec leurs signes, puis contrôler la somme finale.

Le théorème des quatre carrés de Lagrange prolonge la question : il affirme l’existence d’une écriture comme somme d’au plus quatre carrés pour tout entier naturel.