ArithmétiqueNotion · Glossaire
spirale d'Ulam
La spirale d'Ulam dispose les entiers naturels successifs sur une grille selon une spirale carrée, puis met en évidence les nombres premiers. Ceux-ci forment souvent des alignements diagonaux, car les nombres d'une diagonale suivent un polynôme quadratique qui peut produire de longues suites de nombres premiers, sans en produire toujours. Elle permet ainsi de visualiser des régularités de leur répartition, mais ne constitue ni un test de primalité ni la preuve d'une loi générale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire une spirale carrée jusqu'à 49 selon une convention explicite.
- Repérer les quinze nombres premiers de la grille 7 × 7.
- Relier la diagonale 1, 5, 17, 37 à la formule 4k² + 1.
- Distinguer un alignement visuel d'un test ou d'une preuve de primalité.
- Comparer la spirale d'Ulam à la spirale de Sacks.
En clair
Écrivez 1 au centre d'un quadrillage, puis placez 2 à sa droite. Continuez avec 3 au-dessus, puis tournez régulièrement pour enrouler les entiers en un carré. Coloriez seulement les nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, etc. Des traits obliques plus chargés que le reste apparaissent.
La spirale d'Ulam transforme ainsi une liste de nombres en motif. Elle ne prédit pas à elle seule quels nombres sont premiers, mais elle rend visibles certaines régularités arithmétiques.
Définition
La spirale d'Ulam, aussi appelée spirale des nombres premiers ou horloge d'Ulam, place les entiers naturels successifs sur les cases d'une spirale carrée issue de 1. Le sens de rotation et l'orientation du premier pas peuvent changer : ils tournent ou réfléchissent le dessin sans modifier le principe. On distingue ensuite les nombres premiers des nombres composés.
Certaines diagonales suivent des valeurs données par un polynôme quadratique. Si l'entier k repère les cases successives d'une diagonale, ces valeurs peuvent s'écrire , où a, b et c sont des entiers fixés pour cette diagonale. Une telle formule peut fournir beaucoup de nombres premiers consécutifs, jamais tous ses termes sans exception. La diagonale 1, 5, 17, 37 de l'exemple suit ainsi pour k égal à 0, 1, 2 et 3.
Ulam observa ces alignements en 1963. La spirale de Sacks, proposée par Robert Sacks en 1994, est une variante : elle place les entiers sur une spirale d'Archimède plutôt que sur une grille carrée. L'étude de ces images accompagne les questions, encore nombreuses, sur la distribution des nombres premiers.
Un exemple, pas à pas
Construisons la spirale jusqu'à 49. Les données sont les entiers de 1 à 49, une grille de 7 cases sur 7, le départ 1 au centre et le premier pas vers la droite. Les nombres premiers seront marqués en rouge.
1. Placez 1 au centre, puis 2 à droite et 3 au-dessus.
2. Tournez à gauche après 3, puis prolongez les côtés : 4, 5, 6, 7, 8 et 9 complètent, avec 2 et 3, la première couronne carrée.
3. Continuez de la même manière jusqu'à 49.
4. Marquez 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.
5. Suivez la diagonale qui part du centre vers le coin supérieur gauche : elle contient 1, 5, 17 et 37.
2. Tournez à gauche après 3, puis prolongez les côtés : 4, 5, 6, 7, 8 et 9 complètent, avec 2 et 3, la première couronne carrée.
3. Continuez de la même manière jusqu'à 49.
4. Marquez 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.
5. Suivez la diagonale qui part du centre vers le coin supérieur gauche : elle contient 1, 5, 17 et 37.
Pour contrôler cette diagonale, numérotez ses quatre positions par k = 0, 1, 2 et 3. La formule donne exactement 1, 5, 17 et 37. Les trois valeurs après 1 sont premières : l'alignement observé est donc réel sur cette grille, sans constituer une règle universelle.
En pratique
Pour construire une spirale à la main, utilisez un quadrillage et tournez après des segments de longueurs 1, 1, 2, 2, 3, 3, etc. Une simple liste convient mieux si vous voulez seulement tester la primalité ; la spirale est préférable lorsque vous cherchez un motif spatial.
Pour examiner une diagonale, relevez ses valeurs dans l'ordre et cherchez leurs différences successives. Des différences secondes constantes signalent une expression quadratique. Vérifiez ensuite chaque valeur séparément : l'apparence d'une ligne ne prouve pas que tous ses termes sont premiers.
Pour comparer des représentations, gardez la spirale d'Ulam si la grille carrée et ses diagonales sont l'objet étudié. Choisissez plutôt la spirale de Sacks lorsque la disposition sur une spirale d'Archimède est le critère pertinent.
À ne pas confondre
La spirale d'Ulam n'est pas la spirale de Sacks. La première range les entiers sur les cases d'une spirale carrée ; la seconde les répartit sur une spirale d'Archimède. Une grille à angles droits tranche donc immédiatement entre les deux représentations.
Elle n'est pas non plus un test de primalité. Un nombre est premier selon ses diviseurs, pas selon sa position visuelle. Ainsi, 25 reste composé bien qu'il appartienne à la même diagonale que 5, 17 et 37.
Limites et pièges
Un alignement court peut être trompeur. Dans la grille jusqu'à 49, la diagonale 1, 5, 17, 37 semble particulièrement riche en nombres premiers. Pourtant, la même formule donne pour k = 6 : le motif ne produit donc pas exclusivement des nombres premiers.
Le nombre 1 occupe le centre, mais il n'est pas premier. Le colorier comme les nombres premiers créerait un faux prolongement de plusieurs diagonales ; il faut appliquer la définition de la primalité avant d'interpréter l'image.
Changer le sens de rotation ou la direction du premier pas modifie l'orientation apparente des lignes. Avant de comparer deux dessins, vérifiez ces conventions et comparez les suites de valeurs, non la seule inclinaison des diagonales.
Une formule quadratique peut enchaîner de nombreux nombres premiers puis échouer. La formule d'Euler n² − n + 41 donne des nombres premiers pour les entiers n de 1 à 40, mais n = 41 donne 1681 = 41². Une longue série d'exemples ne vaut pas une preuve générale.
Pour aller plus loin
Le glossaire nombre premier permet de revenir au critère arithmétique qui décide quelles cases sont mises en évidence.
L'article L'inépuisable théorème des nombres premiers replace ces motifs visuels dans l'étude quantitative de la répartition des nombres premiers.
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