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loi d'inertie de Sylvester
Sur un espace vectoriel réel de dimension finie, toute forme quadratique se diagonalise dans une base en une somme de carrés positifs, de carrés négatifs et, si elle est dégénérée, de directions nulles. La loi d'inertie de Sylvester affirme que les nombres de carrés positifs et négatifs sont indépendants de la base diagonalisante : leur couple est la signature de la forme, et leur somme son rang.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la signature comme le nombre de carrés positifs et négatifs.
- Réduire un exemple à la forme u² − w² et en déduire sa signature et son rang.
- Reconnaître une direction nulle et éviter de confondre congruence et similitude.
En clair
Imaginez une surface décrite par une formule faite de carrés. En changeant de repère, son écriture peut beaucoup varier, mais, dans une écriture diagonale, les nombres de carrés positifs, négatifs et nuls restent les mêmes.
La loi d’inertie de Sylvester garantit précisément cette stabilité. Après simplification, on compte p carrés précédés d’un signe plus et q carrés précédés d’un signe moins. Le couple (p, q) est la signature ; les autres coordonnées correspondent aux coefficients diagonaux nuls. Elles ne représentent pas l’ensemble des vecteurs non nuls pour lesquels la forme vaut zéro.
Définition
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie et Q une forme quadratique sur E. Un changement de base convenable permet d’écrire Q comme une somme de carrés indépendants, affectés d’un coefficient positif, négatif ou nul. En multipliant les coordonnées par des facteurs non nuls, les coefficients non nuls peuvent être ramenés à +1 ou −1.
Le nombre de carrés positifs est noté p et le nombre de carrés négatifs q. La forme canonique s’écrit alors :
La loi d’inertie affirme que p et q sont indépendants de la base qui produit cette écriture. Le couple (p, q) est la signature de Q, tandis que p + q est son rang. La différence entre la dimension de E et ce rang compte les directions sur lesquelles Q s’annule entièrement.
Dans une représentation matricielle, un changement de base transforme la matrice symétrique de Q par congruence. L’invariance porte donc sur les nombres de signes, et non sur les coefficients diagonaux eux-mêmes ni sur les vecteurs de la base.
Le principe
Si Q est une forme quadratique sur un espace vectoriel réel E de dimension finie, alors il existe une base dans laquelle Q comporte p carrés positifs, q carrés négatifs et dim(E) − p − q termes nuls.
Quels que soient les changements de base inversibles employés pour obtenir une forme diagonale, les entiers p et q restent les mêmes. La signature (p, q) et le rang p + q sont ainsi des invariants par congruence.
Quand l'utiliser
La loi s’applique à une forme quadratique réelle définie sur un espace vectoriel de dimension finie. Il faut effectuer un changement de coordonnées inversible : les nouvelles coordonnées doivent encore décrire tous les vecteurs de l’espace sans ambiguïté. Le résultat obtenu est le nombre de directions positives, négatives et nulles.
Un remplacement non inversible ne convient pas. Par exemple, garder seulement la coordonnée u = x + y et oublier toute coordonnée complémentaire fait perdre des vecteurs ; le comptage obtenu ne décrit plus la forme initiale. Il faut compléter u en un véritable système de coordonnées, par exemple avec v = x − y et w = z dans l’exemple étudié.
Un exemple, pas à pas
Considérons, sur l’espace réel de coordonnées x, y et z, la forme quadratique suivante :
Les données sont les trois coordonnées réelles et les coefficients 1, 2, 1 et −1 de l’expression.
1. Les trois premiers termes forment un carré parfait :
2. Posons u = x + y, v = x − y et w = z. Ce changement est inversible, car x = (u + v)/2, y = (u − v)/2 et z = w.
3. Dans les nouvelles coordonnées, la forme devient :
Il y a un carré positif, un carré négatif et aucun terme en v. La signature est donc (1, 1) et le rang vaut 2.
Le contrôle se refait sur trois directions : Q(1, 0, 0) = 1, Q(0, 0, 1) = −1 et Q(1, −1, 0) = 0. On retrouve bien une direction de chaque signe et une direction nulle.
En pratique
Pour classer une forme quadratique, on la réduit en somme de carrés puis on compte les signes. Ce comptage suffit quand on cherche sa signature ; il évite de s’attacher à une diagonalisation particulière.
Pour décider si la forme est toujours positive, on vérifie l’absence de carré négatif et de direction nulle. Si une direction nulle existe, la forme est seulement positive au sens large ; si les deux signes apparaissent, elle prend des valeurs positives et négatives.
Dans l’exemple, l’écriture u² − w² donne immédiatement le verdict : la forme est indéfinie, car u fait apparaître une valeur positive tandis que w fait apparaître une valeur négative. La coordonnée v révèle en plus la dégénérescence.
À ne pas confondre
Congruence et similitude. Pour une forme quadratique, le changement de base agit par congruence et conserve la signature. La similitude concerne une application linéaire et conserve notamment ses valeurs propres. Deux matrices congruentes peuvent donc avoir des valeurs propres différentes tout en portant la même signature.
Signature et rang. Le rang ne compte que le nombre total de carrés non nuls, soit p + q. La signature conserve leur répartition. Ainsi, les signatures (2, 0) et (1, 1) ont toutes deux le rang 2, mais la première n’a pas de direction négative alors que la seconde en a une.
Limites et pièges
Cas dégénéré. Lorsque p + q est strictement inférieur à la dimension de l’espace, certaines directions sont nulles. Elles ne doivent être comptées ni parmi les signes positifs ni parmi les signes négatifs. Dans l’exemple, la dimension vaut 3 et le rang 2 : il reste exactement une direction nulle.
Coefficients diagonaux. Les valeurs inscrites sur une diagonale ne sont pas elles-mêmes invariantes. Une nouvelle mise à l’échelle peut remplacer un coefficient positif par un autre coefficient positif. Il faut compter les signes après un changement de coordonnées inversible, sans comparer les valeurs coefficient par coefficient.
Cadre réel. L’opposition entre positif et négatif repose sur l’ordre des nombres réels. La formulation par p carrés positifs et q carrés négatifs ne se transpose pas telle quelle à un espace complexe ; il faut employer le résultat adapté au corps et au type de forme considérés.
Pour aller plus loin
La signature d’une forme quadratique approfondit la lecture du couple (p, q) et son rôle dans la classification des formes quadratiques réelles.
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