décomposition de Gauss

Dans l'expression x² + 4xy + y², le produit xy mêle les deux variables et masque la forme générale du calcul. La décomposition de Gauss regroupe les termes pour fabriquer des carrés : on obtient (x + 2y)² − 3y².

La nouvelle écriture décrit pourtant exactement les mêmes valeurs. Elle montre immédiatement un carré positif et un carré négatif, donc les deux directions de signe de la forme quadratique.

Une forme quadratique réelle est une expression homogène de degré 2 en plusieurs variables. La décomposition de Gauss est un procédé algébrique qui la réécrit, après des substitutions linéaires inversibles, comme une somme de carrés affectés de coefficients positifs ou négatifs.

Si la forme est définie sur ℝⁿ et possède le rang r, la décomposition contient exactement r carrés de formes linéaires indépendantes ; les n − r directions restantes donnent une contribution nulle. En absorbant la valeur absolue de chaque coefficient dans la forme linéaire correspondante, on obtient une écriture normalisée :

Les symboles ℓ₁, …, ℓ_p+m désignent des formes linéaires indépendantes, et p + m = r. Avec la convention ordonnée (nombre de carrés positifs, nombre de carrés négatifs), la signature vaut (p, m). Les substitutions et les carrés obtenus ne sont pas uniques, mais le théorème de Sylvester garantit que ces deux nombres ne dépendent pas de la décomposition choisie.

On rencontre la décomposition de Gauss dans un exercice où apparaît un polynôme homogène de degré 2 : uniquement des carrés de variables et des produits de deux variables, sans terme constant ni terme de degré 1. Un autre marqueur est une matrice réelle symétrique associée à cette expression.

La présence de termes croisés comme 4xy signale que la forme n'est pas encore réduite. Le support porte alors trois informations à dégager : le rang, le nombre de carrés positifs et le nombre de carrés négatifs.

La lecture vise le rang et la signature de la forme quadratique. 1. Repérer un carré dont le coefficient est non nul. 2. Regrouper avec lui tous les termes qui contiennent la même variable. 3. Compléter le carré, puis recommencer sur le reste. 4. Compter les carrés de coefficient positif et ceux de coefficient négatif.

La convention employée ici écrit la signature dans l'ordre (positifs, négatifs) ; les directions nulles se lisent séparément par n − r. Dans une matrice symétrique, l'œil peut attribuer directement le coefficient de xy à une case hors diagonale. Il faut le diviser par deux, car les deux cases symétriques contribuent ensemble au terme croisé.

Données.
La forme étudiée est q(x, y) = x² + 4xy + y².
Elle dépend de deux variables réelles, x et y.
Le coefficient de x² vaut 1, celui de xy vaut 4 et celui de y² vaut 1.

1. Les termes x² + 4xy commencent comme le développement de (x + 2y)².

2. Ce carré ajoute 4y² ; on le compense dans le reste :

3. En réunissant les deux derniers termes, la décomposition devient :

Les formes linéaires x + 2y et y sont indépendantes. Le rang est donc 2 et la signature, dans l'ordre (positifs, négatifs), est (1, 1). Pour contrôler le calcul, développer (x + 2y)² − 3y² redonne exactement x² + 4xy + y².

Dans un calcul à deux ou trois variables, compléter successivement les carrés donne une réduction lisible sans chercher d'abord les valeurs propres d'une matrice. C'est le geste naturel lorsque les coefficients se prêtent à des regroupements simples.

Pour déterminer le signe d'une forme, on lit les signes de la décomposition. Dans l'exemple, choisir y = 0 avec x non nul donne une valeur positive, tandis que choisir x = −2y avec y non nul donne une valeur négative : la forme est indéfinie.

Pour comparer deux écritures obtenues par des substitutions différentes, on ne compare pas leurs formes linéaires terme à terme. On vérifie plutôt le rang et les deux nombres de la signature, qui restent invariants.

Élimination de Gauss. Elle transforme un système linéaire ou une matrice par opérations élémentaires afin de résoudre des équations ou de déterminer un rang. La décomposition étudiée ici complète des carrés dans une forme quadratique. La présence d'une expression comme x² + 4xy + y² indique le second problème.

Diagonalisation orthogonale. Elle utilise un changement de base orthonormé pour une matrice symétrique et fait apparaître ses valeurs propres. La décomposition de Gauss autorise plus généralement des substitutions linéaires inversibles. Dans l'exemple, x + 2y et y sont indépendantes, mais elles ne forment pas un changement orthonormé.

Premier carré absent. Une expression peut avoir des termes croisés sans carré immédiatement disponible, comme 2xy. On ne doit pas conclure que la méthode bloque : un changement de variables fournit

Rang inférieur à n. Si un reste devient identiquement nul, il ne faut pas ajouter artificiellement des carrés nuls à la signature. Une forme de rang r ne comporte que r carrés indépendants ; les n − r directions nulles sont comptées à part.

Décomposition non unique. Le choix du premier carré peut modifier les substitutions et l'apparence du résultat. Ce n'est pas une contradiction : seuls le nombre de carrés positifs et celui de carrés négatifs sont garantis invariants sur ℝ.

La signature d'une forme quadratique approfondit la lecture du couple formé par les nombres de carrés positifs et négatifs.

Le théorème de Sylvester explique pourquoi cette signature ne change pas lorsque l'on choisit une autre décomposition réelle.