nombre déficient

Prenons 16 et cherchons les nombres qui le divisent sans reste, en écartant 16 lui-même. Il reste 1, 2, 4 et 8. Leur somme vaut 15 : elle n'atteint donc pas le nombre de départ. C'est ce manque qui fait de 16 un nombre déficient.

L'image est celle d'une balance : d'un côté, le nombre ; de l'autre, tous ses diviseurs propres additionnés. Si le second total est plus petit, le nombre est déficient.

La notion s'applique aux entiers naturels strictement supérieurs à 1. Un diviseur propre d'un entier est un diviseur positif différent de l'entier lui-même. Pour un entier n, notons s(n) la somme de ses diviseurs propres. Le critère est alors :

La lettre d désigne ici chaque diviseur positif de n qui est strictement inférieur à n. L'inégalité doit être stricte. Si la somme égale n, le nombre est parfait ; si elle dépasse n, il est abondant. Ainsi, 16 est déficient puisque ses diviseurs propres sont 1, 2, 4 et 8, de somme 15. Les nombres premiers n'ont que 1 comme diviseur propre, donc ils sont déficients. Leurs puissances d'exposant entier positif le sont aussi. Il existe une infinité de nombres déficients. La notion a été introduite par Nicomaque de Gérase au IIe siècle après J.-C. dans l'Introduction à l'arithmétique.

Déterminons si 16 est déficient. Le schéma compare le nombre de départ avec la somme décomposée de ses diviseurs propres.

Données.
Nombre étudié : 16.
Diviseurs positifs de 16 : 1, 2, 4, 8 et 16.
Valeur à exclure : 16, car un diviseur propre doit être strictement inférieur au nombre.

Étape 1. Après avoir retiré 16, la liste des diviseurs propres est 1, 2, 4 et 8. Aucun autre entier positif ne divise 16 sans reste.

Étape 2. Additionnons ces quatre valeurs :

Étape 3. Comparons 15 à 16. Comme 15 est strictement inférieur à 16, le critère s(16) < 16 est satisfait : 16 est déficient. Le déficit vaut ici 16 − 15 = 1. Contrôle. Les diviseurs vont par paires 1 × 16 et 2 × 8 ; avec 4 × 4, cette vérification retrouve bien la liste complète 1, 2, 4, 8, 16.

Pour classer un entier supérieur à 1, on liste ses diviseurs positifs, on retire l'entier lui-même, puis on additionne les valeurs restantes. Une somme inférieure au nombre conduit à la catégorie déficiente ; l'égalité ou le dépassement conduit respectivement aux catégories parfaite ou abondante.

Pour contrôler une liste de diviseurs sans omission, on les cherche par paires de facteurs. Dans le cas de 16, les produits 1 × 16, 2 × 8 et 4 × 4 donnent tous les diviseurs positifs.

Lorsqu'un entier est premier ou puissance d'exposant positif d'un nombre premier, on peut conclure directement qu'il est déficient. Pour les autres entiers, le calcul de la somme reste le geste qui tranche.

Nombre parfait. La somme des diviseurs propres est exactement égale au nombre. Le cas 6 tranche : 1 + 2 + 3 = 6, donc 6 est parfait et non déficient.

Nombre abondant. La somme des diviseurs propres dépasse le nombre. Le critère est donc opposé à celui d'un nombre déficient, pour lequel cette somme reste strictement inférieure.

Nombre premier. Être premier signifie n'avoir que deux diviseurs positifs, 1 et le nombre lui-même. Tout nombre premier est déficient, mais « premier » décrit ses diviseurs tandis que « déficient » compare leur somme au nombre.

Le seuil n > 1 compte. Selon la convention de cette fiche, 1 n'est pas classé comme déficient. Ainsi, parmi les entiers de 2 à 11, tous sont déficients sauf 6 ; inclure 1 dans cette phrase contredirait le domaine annoncé.

Le nombre lui-même ne participe jamais à la somme. Pour 16, additionner aussi 16 donnerait 31 et ferait croire à tort que le nombre est abondant. Il faut conserver seulement 1, 2, 4 et 8.

Une liste incomplète fausse le verdict. Oublier 8 donnerait 1 + 2 + 4 = 7, encore inférieur à 16, mais ce résultat ne prouverait rien : le critère porte sur la somme de tous les diviseurs propres.

Le nombre parfait étudie le cas charnière où la somme des diviseurs propres atteint exactement le nombre.

Le nombre abondant prolonge la comparaison lorsque cette somme dépasse le nombre étudié.

Le nombre premier éclaire une famille entière de nombres déficients, dont le seul diviseur propre est 1.