ArithmétiqueNotion · Glossaire
nombre superabondant
Dans la convention retenue ici, la liste commence exceptionnellement par 1, 2, 4 et 6. Pour les termes suivants, un entier positif abondant est dit superabondant lorsque son taux d’abondance — la somme de ses diviseurs stricts divisée par lui-même — est strictement supérieur à celui de tout entier abondant plus petit : il établit alors un nouveau record parmi eux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier somme des diviseurs stricts, abondance et record de taux.
- Refaire le calcul exact du taux d’abondance de 840.
- Distinguer nombre abondant, nombre parfait et nombre superabondant.
- Repérer les conventions et les arrondis qui faussent une comparaison.
En clair
Prenons 840 et cherchons tous les nombres entiers positifs qui le divisent sans reste. Leur somme, en retirant 840 lui-même, vaut 2 040. Le quotient 2 040 ÷ 840 vaut donc 17/7, soit environ 2,43.
Ce quotient mesure l’abondance de 840 : plus il est grand, plus les diviseurs stricts pèsent lourd par rapport au nombre. L’adjectif « superabondant » signale un nouveau record de ce quotient selon la convention de comparaison retenue.
Définition
Pour un entier positif n, on note s(n) la somme de ses diviseurs stricts, c’est-à-dire de tous ses diviseurs positifs autres que n. Son taux d’abondance est le quotient s(n)/n. Un nombre est abondant lorsque s(n) est strictement supérieur à n, donc lorsque ce taux dépasse 1.
Dans la convention donnée ici, un entier n est dit superabondant lorsque son taux s(n)/n dépasse strictement celui de tout entier abondant plus petit que n. Il s’agit donc d’une condition de record : connaître seulement s(n) ne suffit pas, car il faut aussi comparer le quotient obtenu à ceux des entiers admissibles antérieurs.
La source traite 1, 2, 4 et 6 comme une liste initiale conventionnelle, avant l’application du critère général réservé aux entiers abondants. Leurs sommes de diviseurs stricts valent respectivement 0, 1, 3 et 6 : 2 et 4 sont déficients, tandis que 6 est parfait.
Un exemple, pas à pas
Vérifions le taux d’abondance de 840. Les données sont l’entier 840 et sa décomposition 840 = 23 × 3 × 5 × 7. La somme de tous ses diviseurs positifs sera notée σ(840).
1. Pour chaque facteur premier, on additionne ses puissances utiles.
2. On multiplie les quatre sommes obtenues :
2. On multiplie les quatre sommes obtenues :
3. On retire 840, qui n’est pas un diviseur strict : s(840) = 2 880 − 840 = 2 040.
4. On divise par l’entier étudié : s(840)/840 = 2 040/840 = 17/7 ≈ 2,43.
4. On divise par l’entier étudié : s(840)/840 = 2 040/840 = 17/7 ≈ 2,43.
Le contrôle est refaisable en développant 17 × 120 = 2 040 et 7 × 120 = 840. Ce calcul prouve que 840 est abondant et fixe son taux ; établir le caractère superabondant exige encore la comparaison avec tous les entiers admissibles plus petits.
En pratique
Pour tester un entier donné, on commence par factoriser cet entier. La formule multiplicative de la somme des diviseurs évite alors d’énumérer un à un tous les diviseurs, comme dans le calcul de 840.
Pour décider si l’entier est abondant, il suffit de comparer s(n) à n. Pour décider s’il établit un record, ce test isolé ne suffit plus : il faut conserver le plus grand taux déjà rencontré parmi les entiers plus petits autorisés par la définition.
Lorsque seuls quelques petits nombres sont étudiés, la liste directe des diviseurs reste contrôlable. Pour un nombre très composé comme 840, la décomposition en facteurs premiers rend le calcul plus court et réduit les oublis.
À ne pas confondre
Nombre abondant. Il vérifie seulement s(n) > n. Le nombre 840 passe ce test, car 2 040 > 840, mais ce constat seul ne prouve pas qu’il bat les taux antérieurs.
Nombre parfait. Il vérifie s(n) = n, donc son taux vaut exactement 1. Ainsi, 6 est parfait puisque ses diviseurs stricts 1, 2 et 3 ont pour somme 6 ; il n’est pas abondant au sens strict.
Limites et pièges
Le mot « strictement » est décisif. Un taux égal au record précédent ne crée pas un nouveau record. Il faut vérifier une inégalité stricte, et non une égalité.
Un taux supérieur à 1 ne suffit pas. Ce seuil établit seulement que le nombre est abondant. Le qualificatif superabondant demande en plus une comparaison avec tous les entiers antérieurs retenus.
Les petits termes relèvent ici d’une convention. Les taux exacts de 1, 2, 4 et 6 sont 0, 1/2, 3/4 et 1. Toute liste qui inclut ces nombres avant d’appliquer un critère réservé aux abondants doit annoncer explicitement ce traitement initial.
Un arrondi ne doit pas servir à départager deux records. Pour 840, 2,43 est seulement une approximation de 17/7. La comparaison fiable se fait avec les fractions exactes, par produit en croix si nécessaire.
Pour aller plus loin
La fiche nombre abondant approfondit le seuil s(n) > n, préalable au critère de record employé ici.
La fiche nombre parfait éclaire le cas charnière s(n) = n et le rôle particulier de 6.
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