nombres amiables

Prenez 220 et additionnez tous ses diviseurs sauf 220 : le total est 284. Faites le trajet inverse avec les diviseurs de 284, sans compter 284 : le total revient à 220. Chaque nombre désigne ainsi l'autre par la somme de ses diviseurs propres. Cette réciprocité forme une paire de nombres amiables, également appelés nombres amicaux.

Un diviseur propre d’un entier naturel positif est un diviseur différent de cet entier. Pour chaque entier positif k, notons s(k) la somme de ses diviseurs propres. Deux entiers naturels distincts m et n sont amiables lorsque chacun est la somme des diviseurs propres de l’autre :

La relation porte donc sur une paire et se vérifie dans les deux sens. Le couple fondateur est (220, 284). La source mentionne aussi (17 296, 18 416), attribué à Al-Farisi et appelé couple de Fermat, puis (9 363 584, 9 437 056), trouvé par Al-Yazdi vers 1500 et appelé couple de Descartes. Elle fait remonter l’étude à l’Antiquité et attribue à Pythagore le nom de « nombres amicaux » pour (220, 284). Euler a ensuite dressé une liste de 61 paires. La source en signale aujourd’hui plus de 13 000, sans règle générale qui les produise toutes. L’existence d’une infinité de paires reste inconnue.

Vérifions la paire (220, 284). Les données sont les deux entiers 220 et 284, ainsi que leurs listes complètes de diviseurs propres. Le contrôle croisé fait apparaître les deux sommes et leur destination. Dans le schéma, s(k) désigne la somme des diviseurs propres de l’entier k.

1. Pour 220, retenez 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110.
2. Additionnez-les : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
3. Pour 284, retenez 1, 2, 4, 71 et 142.
4. Additionnez-les : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Le premier total donne le second nombre, puis le second total redonne le premier : 220 et 284 sont donc amiables. Pour refaire le contrôle, associez les diviseurs par paires de facteurs, par exemple 2 × 110 et 4 × 55 pour 220, puis vérifiez qu’aucun diviseur propre ne manque.

Pour tester une paire proposée, dressez les diviseurs propres de chaque entier, additionnez chaque liste, puis comparez les deux résultats en sens croisés. Une simple égalité dans un seul sens ne suffit pas : les deux sommes doivent échanger exactement les nombres.

Pour engendrer certains exemples, la construction de Thabit ibn Qurra offre une alternative à la recherche paire par paire. Pour un entier naturel n supérieur à 1, elle définit trois entiers nommés a, b et c :

Si a, b et c sont premiers, alors les deux produits 2ⁿ × a × b et 2ⁿ × c sont amiables.

Pour n = 2, la construction donne a = 11, b = 5 et c = 71, tous premiers. Les deux produits valent 220 et 284. Cette méthode est utile lorsque le test de primalité réussit ; elle ne remplace pas une recherche générale de toutes les paires.

Nombre parfait. Un nombre parfait est égal à la somme de ses propres diviseurs propres, tandis que deux nombres amiables échangent leurs sommes. Le test tranche immédiatement : une somme qui revient au nombre de départ signale un nombre parfait ; deux sommes qui échangent deux entiers distincts signalent une paire amiable.

Une construction partielle. La primalité simultanée des trois entiers auxiliaires est une hypothèse suffisante dans la construction de Thabit, pas une caractérisation de toutes les paires amiables. D’après la source, parmi les exposants naturels inférieurs à 20 000, le test ne réussit que pour 2, 4 et 7. Si l’un des trois nombres n’est pas premier, cette construction ne conclut pas ; il faut employer une autre recherche.

Une population encore mystérieuse. Plus de 13 000 paires sont signalées par la source, mais aucune règle générale ne permet de les obtenir toutes. On ignore s’il existe une infinité de paires amiables. Le nombre d’exemples connus ne doit donc pas être interprété comme une preuve d’infinitude.

La parité ne fournit pas une classification complète. Aucun couple composé d’un nombre pair et d’un nombre impair n’est connu d’après la source. Cette absence d’exemple connu n’équivaut pas à une preuve d’impossibilité ; il faut la présenter comme un état des connaissances, non comme un théorème.

multiples et diviseurs — Pour consolider le vocabulaire utilisé dans le calcul des diviseurs propres.

nombre parfait — Pour comparer une somme qui revient au même entier avec l’échange propre aux paires amiables.

Entiers naturels — Pour replacer les nombres amiables dans leur domaine arithmétique.