multiples et diviseurs

Disposez 36 jetons en paquets identiques. Des paquets de 4 fonctionnent : il y en a 9 et aucun jeton ne reste. Ainsi, 4 divise 36. Vu dans l'autre sens, 36 est un multiple de 4, car 4 × 9 = 36.

Avec des paquets de 5, il reste un jeton : 5 n'est donc pas un diviseur de 36. Le reste nul est le test décisif, et la même égalité relie toujours les deux mots « multiple » et « diviseur ».

Soient n et a deux entiers naturels, avec a non nul. Le nombre a est un diviseur de n lorsque la division euclidienne de n par a a pour reste 0. Cela revient à dire qu'il existe un entier naturel q, appelé ici quotient, tel que $n=a\times qn=a\backslash times\; q$. Dans cette même égalité, n est un multiple de a. On note aussi « a divise n » pour exprimer cette relation.

Pour un entier naturel non nul a, ses multiples s'obtiennent en choisissant successivement q = 0, 1, 2, 3, et ainsi de suite. Ils sont donc 0, a, 2a, 3a… et forment une liste infinie. En revanche, si n est strictement positif, chacun de ses diviseurs positifs est compris entre 1 et n : leur nombre est fini.

La relation est réciproque dans son énoncé : dire que 36 est un multiple de 4 revient exactement à dire que 4 est un diviseur de 36. Un entier naturel premier est un entier au moins égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts, 1 et lui-même. Le cas de 0 et celui de 1 demandent des précautions particulières.

Cherchons les diviseurs positifs de 36. Chaque division exacte fournit une paire : le diviseur testé et son quotient. Le reste doit être nul.

1. Les divisions par 1 et par 2 sont exactes : 36 = 1 × 36 et 36 = 2 × 18. Nous obtenons les paires 1 et 36, puis 2 et 18.

2. Les divisions par 3 et par 4 sont également exactes : 36 = 3 × 12 et 36 = 4 × 9. Les nouveaux diviseurs sont 3, 12, 4 et 9.

3. La division par 5 donne 7 avec un reste de 1 : 5 ne divise pas 36. La division par 6 donne 6 avec un reste nul, soit la paire 6 et 6. La figure rassemble les cinq produits exacts.

4. Deux facteurs supérieurs à 6 auraient un produit supérieur à 36. Après 6, chaque facteur possible appartient donc à une paire déjà rencontrée dans l'ordre inverse. La liste complète est 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.

5. Le contrôle consiste à remultiplier chaque paire. Les cinq résultats valent 36, et le seul facteur répété est 6 puisque 6 × 6 = 36.

Pour répartir 36 objets en groupes de même taille sans reste, testez la taille d'un groupe comme diviseur de 36. Une taille de 4 convient, tandis qu'une taille de 5 impose soit un reste, soit un autre nombre total d'objets.

Pour vérifier si un entier est un multiple de 4, effectuez sa division euclidienne par 4. Un reste nul confirme la relation ; sinon, la liste 0, 4, 8, 12… permet de repérer les multiples voisins.

Pour décider si un entier au moins égal à 2 est premier, recherchez ses diviseurs positifs. Si seuls 1 et le nombre lui-même apparaissent, il est premier ; dès qu'une autre paire de facteurs est trouvée, il ne l'est pas.

Multiple et diviseur. Le sens de la relation compte. Dans 36 = 4 × 9, 36 est un multiple de 4, tandis que 4 est un diviseur de 36. Inverser les deux affirmations donnerait en général un énoncé faux.

Diviseur d'un nombre et diviseur d'une division. Dans l'opération 36 ÷ 5, le nombre 5 est appelé le diviseur de l'opération, mais il ne divise pas exactement 36, car le reste vaut 1. Le contexte et le reste permettent de trancher.

Le cas de 0. Les produits k × 0 valent tous 0 : 0 est donc l'unique multiple de 0, et non le début d'une infinité de valeurs distinctes. En revanche, tout entier positif divise 0 puisque 0 = a × 0. Le nombre 0 ne peut jamais servir de diviseur dans une division euclidienne.

Le cas de 1. Les expressions « 1 et lui-même » nomment ici le même diviseur, pas deux diviseurs distincts. Ainsi, 1 n'est pas premier. La définition d'un nombre premier exige un entier naturel au moins égal à 2 et exactement deux diviseurs positifs distincts.

Le domaine choisi. Cette fiche travaille avec les entiers naturels et leurs diviseurs positifs. Si l'on étend la relation aux entiers relatifs, les signes entrent en jeu : 4 et −4 divisent alors tous deux 36. Il faut annoncer le domaine avant de compter les diviseurs.

Division euclidienne — Approfondir le rôle du quotient et du reste dans le test de divisibilité.

Facteur premier — Voir comment les diviseurs premiers interviennent dans la décomposition d'un entier.

Premiers entre eux — Étudier deux entiers dont le seul diviseur positif commun est 1.

théorème fondamental de l'arithmétique — Relier la décomposition en facteurs premiers à la structure multiplicative des entiers.