ArithmétiqueNotion · Glossaire
Dividende
Dans une division euclidienne, le dividende est le nombre que l'on divise. Pour deux entiers a et b avec b non nul, l'algorithme de division euclidienne fournit deux entiers uniques q (quotient) et r (reste) tels que a = b*q + r avec 0 ≤ r < |b|. Le nombre a est appelé dividende, b est le diviseur. La même terminologie s'applique à la division de polynômes. Le dividende joue le rôle central dans la définition de la divisibilité et dans les algorithmes arithmétiques fondamentaux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le dividende parmi le diviseur, le quotient et le reste.
- Refaire une division euclidienne avec 47 et 6.
- Contrôler l’égalité et la borne imposée au reste.
- Traiter correctement un diviseur nul ou négatif.
- Distinguer le cas des entiers de la division de polynômes.
En clair
Imaginez 47 objets à ranger dans des groupes de 6. Les 47 objets constituent le dividende : c’est la quantité de départ que l’on divise. On peut former 7 groupes complets, et 5 objets restent à part.
Le dividende n’est donc ni la taille d’un groupe, ni le nombre de groupes obtenus. Dans 47 = 6 × 7 + 5, il s’agit du nombre 47.
Définition
Dans la division euclidienne de deux entiers, le dividende est l’entier que l’on divise. On note a ce dividende et b le diviseur. Le diviseur b doit être non nul. L’algorithme fournit alors un entier q, appelé quotient, et un entier r, appelé reste.
Les quatre entiers vérifient simultanément la relation et la borne suivantes :
La valeur absolue |b| conserve une borne positive lorsque le diviseur est négatif. Pour chaque paire d’entiers a et b avec b non nul, les entiers q et r satisfaisant ces deux conditions sont uniques.
Dans 47 = 6 × 7 + 5, le dividende est 47, le diviseur 6, le quotient 7 et le reste 5. La même terminologie s’applique à la division de polynômes. Le dividende intervient aussi dans la divisibilité et dans les algorithmes arithmétiques qui enchaînent des divisions.
Un exemple, pas à pas
On range 47 objets dans des groupes de 6. Les données sont le dividende 47, le diviseur 6 et les deux nombres de groupes candidats 7 et 8. Il faut trouver le quotient et le reste.
Étape 1. On calcule les deux multiples voisins : 6 × 7 = 42 et 6 × 8 = 48. Comme 48 dépasse 47, seuls 7 groupes peuvent être complets. Le quotient vaut 7.
Étape 2. On retire du dividende les 42 objets déjà groupés : 47 − 42 = 5. Le reste vaut 5.
Étape 3. On rassemble le calcul et la borne du reste :
La décomposition en groupes rend visibles les 42 objets rangés et les 5 objets restants.
Résultat. Dans cette division euclidienne, 47 est le dividende, 6 le diviseur, 7 le quotient et 5 le reste.
Contrôle. Le calcul 6 × 7 + 5 redonne bien 47, et le reste 5 est compris entre 0 inclus et 6 exclu. Les deux conditions sont satisfaites.
En pratique
Pour former des groupes entiers, repérez d’abord la quantité totale : c’est le dividende. Avec 47 objets rangés par 6, la division euclidienne convient si l’on veut des groupes complets et un reste. Un partage fractionnaire répondrait à une autre question.
Pour tester une divisibilité, divisez l’entier étudié et observez le reste. Le reste 5 montre que 47 n’est pas divisible par 6. Si le reste était nul, le dividende serait exactement le produit du diviseur par le quotient.
Si les objets à diviser sont des polynômes plutôt que des entiers, employez la division de polynômes. Les quatre noms conservent leur rôle, mais la condition numérique imposée au reste des entiers ne se transpose pas telle quelle.
À ne pas confondre
Dividende et diviseur. Le dividende est le nombre divisé ; le diviseur est le nombre par lequel on le divise. Dans 47 = 6 × 7 + 5, 47 est le dividende et 6 le diviseur.
Dividende et quotient. Le dividende est une donnée de départ, tandis que le quotient est un résultat. Dans le même calcul, 47 est donné avant l’opération et 7 compte les groupes complets obtenus.
Dividende et reste. Le dividende est la quantité entière de départ ; le reste est ce qui demeure après les groupes complets. Ici, 47 est le total initial et 5 reste après 7 groupes de 6.
Limites et pièges
Diviseur nul. Avec un diviseur égal à 0, la division euclidienne n’est pas définie. Il ne faut chercher ni quotient ni reste euclidiens ; le diviseur doit être un entier non nul.
Égalité insuffisante. L’écriture 47 = 6 × 6 + 11 est vraie, mais 11 n’est pas un reste euclidien valide puisqu’il n’est pas inférieur à 6. Il faut poursuivre la répartition et obtenir 47 = 6 × 7 + 5.
Diviseur négatif. La borne utilise la valeur absolue du diviseur. Avec −6, on peut écrire 47 = (−6) × (−7) + 5 et vérifier 0 ≤ 5 < |−6|. Comparer le reste à −6 rendrait la condition impossible.
Division de polynômes. Les mots dividende, diviseur, quotient et reste subsistent, mais la condition 0 ≤ r < |b| appartient au cadre des entiers. Pour des polynômes, il ne faut pas appliquer cette inégalité numérique.
Pour aller plus loin
Division euclidienne — Retrouvez l’algorithme qui relie dividende, diviseur, quotient et reste, ainsi que la condition qui assure leur unicité.
Critères de divisibilité — Reliez un reste nul aux tests permettant de décider si un entier en divise un autre.
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