Stathme euclidien

Dans les entiers, diviser 37 par 5 donne un quotient de 7 et un reste de 2. Le reste est plus petit que le diviseur : sa valeur absolue descend de 5 à 2. En recommençant avec 5 et 2, puis avec 2 et 1, on atteint un reste nul.

Un stathme euclidien est la mesure qui garantit cette descente dans un anneau. Il ne mesure pas forcément une taille ordinaire : pour des polynômes, le degré joue ce rôle.

Soit A un anneau intègre, c'est-à-dire un anneau commutatif sans diviseur de zéro. Un stathme euclidien, aussi appelé fonction euclidienne, est une application notée φ qui associe un entier naturel à chaque élément non nul de A. Pour tout élément a de A et tout élément non nul b de A, il doit exister un quotient q et un reste r appartenant à A tels que $a=qb+ra=qb+r$. Le reste est nul ou vérifie .

Cette condition porte sur l'existence d'une division avec descente ; elle n'impose pas que le quotient ou le reste soient uniques. Un anneau intègre qui possède au moins un tel stathme est un anneau euclidien. Dans les entiers ℤ, on peut prendre φ(n) = |n| pour tout entier non nul n. Dans l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps K, le degré convient comme stathme. L'anneau des entiers de Gauss fournit un autre exemple classique.

La décroissance dans ℕ permet de répéter les divisions sans descendre indéfiniment. Elle est notamment à la base du calcul d'un plus grand commun diviseur par divisions successives. Enfin, tout anneau euclidien est principal : chacun de ses idéaux peut être engendré par un seul élément.

Prenons l'anneau des entiers ℤ, le stathme φ(n) = |n|, le dividende 37 et le diviseur 5. Les données initiales sont donc a = 37, b = 5 et φ(5) = 5.

1. Diviser 37 par 5 : $37=7\times 5+237=7\backslash times5+2$. Le reste 2 convient, car φ(2) = 2 < 5 = φ(5).

2. Reprendre le diviseur 5 et le reste 2 : $5=2\times 2+15=2\backslash times2+1$. Le nouveau reste vérifie φ(1) = 1 < 2 = φ(2).

3. Diviser enfin 2 par 1 : $2=2\times 1+02=2\backslash times1+0$. Le reste nul arrête la suite.

Le dernier reste non nul est 1 : le plus grand commun diviseur de 37 et 5 vaut donc 1. Le contrôle consiste à relire les trois égalités et la chaîne stricte des stathmes des diviseurs non nuls : 5 > 2 > 1.

Dans ℤ, la valeur absolue sert de stathme. On choisit un quotient donnant un reste de valeur absolue strictement inférieure à celle du diviseur, puis on recommence pour calculer un plus grand commun diviseur.

Dans K[X], l'indicateur observable est le degré. Une division est utile lorsque le reste nul ou son degré strictement inférieur à celui du diviseur permet de poursuivre la même descente sur des polynômes.

Pour établir qu'un anneau est euclidien, il faut proposer une fonction sur tous ses éléments non nuls et vérifier la division avec descente pour chaque paire admissible. Quelques calculs réussis illustrent le mécanisme, mais ne remplacent pas cette vérification générale.

Stathme euclidien et division euclidienne. Le stathme est la fonction qui compare le reste au diviseur ; la division est l'égalité obtenue. Dans 37 = 7 × 5 + 2, l'égalité est la division, tandis que φ(2) < φ(5) exprime la descente.

Stathme euclidien et anneau euclidien. Le premier est une application ; le second est un anneau intègre qui possède une telle application. La fonction φ(n) = |n| est un stathme sur ℤ, alors que ℤ est l'anneau euclidien.

Anneau euclidien et anneau principal. « Euclidien » affirme l'existence d'une fonction de descente et donc de divisions adaptées. « Principal » affirme que chaque idéal admet un générateur. La source garantit le passage du premier au second, sans identifier les deux propriétés.

Le diviseur nul est exclu. La condition euclidienne s'applique seulement lorsque b ≠ 0. Si b = 0, la comparaison φ(r) < φ(b) n'a même pas de sens, puisque le stathme n'est défini que sur les éléments non nuls.

Le reste nul est un cas d'arrêt. Il n'est pas nécessaire d'évaluer φ(0). Dans l'étape 2 = 2 × 1 + 0, la branche « r = 0 » suffit ; chercher φ(0) sortirait du domaine annoncé.

La décroissance concerne le stathme. Dans un anneau général, elle ne signifie ni que le reste est positif ni qu'il est plus petit dans un ordre usuel. Pour K[X], on compare les degrés du reste et du diviseur.

L'existence ne signifie pas l'unicité. La définition demande qu'il existe au moins un couple quotient-reste satisfaisant la condition. Pour prouver qu'une proposition de division échoue, il ne suffit donc pas d'exhiber un mauvais reste : il faut exclure tous les choix admissibles.

Anneau euclidien — Pour replacer l'existence d'un stathme dans les propriétés de l'anneau qui le porte.

Division euclidienne — Pour approfondir l'égalité entre dividende, quotient, diviseur et reste utilisée à chaque étape.

anneau des entiers de Gauss — Pour examiner l'un des exemples classiques d'anneaux euclidiens cités dans la définition.