Thabit Ibn Qurra

Entre 836 et 901, Thabit Ibn Qurra passa de Harran à Bagdad, où il travailla comme savant et astronome du calife. Parce qu’il lisait le grec, le syriaque et l’arabe, il put traduire et commenter des textes d’Euclide, d’Archimède et d’Apollonius.

Il ne fut pas seulement un passeur. Ses propres recherches relièrent nombres, géométrie et mécanique : nombres amiables, calcul d’aires et de volumes, segment de parabole, théorème de Pythagore et équilibre des leviers.

Thabit Ibn Qurra (836–901), appelé Thebit en latin, naquit à Harran, dans l’actuelle Turquie. Il maîtrisait le grec, le syriaque et l’arabe. Installé à Bagdad, il y étudia les mathématiques et la médecine, puis devint astronome du calife.

Son œuvre comprend deux dimensions complémentaires. Comme traducteur et commentateur, il transmit des œuvres grecques d’Euclide, d’Archimède et d’Apollonius. Comme auteur, il travailla sur les nombres premiers et les nombres amiables. Pour un exposant entier naturel choisi, noté n, la forme associée aux « nombres de Thabit » s’écrit $3\cdot 2^n-13\; \backslash cdot\; 2^n\; -\; 1$. Il développa aussi des méthodes de calcul d’aires et de volumes qui faisaient revivre les procédés infinitésimaux d’Archimède. Il calcula notamment l’aire d’un segment de parabole en sommant des trapèzes inscrits et proposa une démonstration du théorème de Pythagore sous forme de puzzle géométrique.

En mécanique, son Traité de la balance à pivot développe le principe d’équilibre des leviers. Gérard de Crémone le traduisit en latin au XII^e siècle. La postérité de Thabit Ibn Qurra est également familiale et symbolique : son fils Sinan et son petit-fils Ibrahim ibn Sinan contribuèrent aux mathématiques, tandis qu’un cratère lunaire porte son nom.

Prenons trois exposants entiers : n vaut successivement 2, 3 et 4. Pour chacun, on applique la forme attachée aux nombres de Thabit : $3\cdot 2^n-13\; \backslash cdot\; 2^n\; -\; 1$.

1. Avec n = 2, la puissance de 2 vaut 4. On obtient exactement 3 × 4 − 1 = 11.

2. Avec n = 3, la puissance de 2 vaut 8. Le même calcul donne exactement 3 × 8 − 1 = 23.

3. Avec n = 4, la puissance de 2 vaut 16. Le résultat exact est 3 × 16 − 1 = 47.

Le contrôle consiste à refaire chaque puissance, puis la multiplication et la soustraction dans cet ordre. Les trois résultats, 11, 23 et 47, vérifient bien la forme annoncée. Ce calcul illustre la famille portant le nom de Thabit ; il ne suffit pas, à lui seul, à établir qu’un résultat forme une paire de nombres amiables.

En théorie des nombres, la forme 3·2ⁿ − 1 fournit un calcul concret associé au nom de Thabit Ibn Qurra. La refaire pour plusieurs exposants rend tangible l’un de ses apports arithmétiques : l’étude d’une famille de nombres définie par une même forme. Si la question porte plutôt sur les nombres amiables, il faut consulter cette notion séparément au lieu de déduire leur propriété de la seule forme.

En géométrie, son œuvre conduit vers deux gestes différents. Pour approcher l’aire d’un segment de parabole, on somme des trapèzes inscrits ; pour relier les côtés d’un triangle rectangle, on suit sa démonstration du théorème de Pythagore par puzzle géométrique.

En histoire des sciences, il faut enfin séparer transmission et création. Les traductions et commentaires éclairent la circulation des œuvres grecques, tandis que les travaux sur les nombres, les aires, les volumes et les leviers permettent d’étudier ses contributions propres.

Nombres de Thabit et nombres amiables. Les premiers sont présentés ici par la forme 3·2ⁿ − 1 ; les seconds sont un autre objet de ses recherches. Calculer 11 avec n = 2 montre la forme, mais ne démontre aucune relation d’amitié entre deux nombres.

Traduire et produire un résultat original. Thabit traduisit et commenta Euclide, Archimède et Apollonius, mais ses travaux sur les nombres, les aires, les volumes et les leviers constituent ses contributions propres. Le critère est donc l’auteur du résultat étudié, non la seule présence du texte dans son œuvre.

Thabit Ibn Qurra et Ibrahim ibn Sinan. Ibrahim est son petit-fils, tandis que Sinan est son fils. Une contribution attribuée à l’un de ces mathématiciens ne peut donc pas être transférée à un autre au seul motif qu’ils appartiennent à la même famille.

Une forme n’est pas une propriété supplémentaire. Obtenir un entier de la forme 3·2ⁿ − 1 ne prouve pas, par ce seul calcul, qu’il appartient à une paire de nombres amiables. Il faut vérifier séparément la propriété que l’on veut établir.

Les dates ne doivent pas être surinterprétées. Les années 836 et 901 bornent la vie de Thabit Ibn Qurra dans la source. Elles ne datent individuellement ni ses traductions ni chacun de ses résultats ; en l’absence d’une date fournie, il faut s’en tenir à cette chronologie générale.

Les procédés infinitésimaux demandent leur contexte. La source les relie explicitement aux méthodes d’Archimède et donne comme cas la sommation de trapèzes inscrits pour un segment de parabole. Pour éviter une généralisation abusive, il faut citer ce procédé précis plutôt que lui attribuer toute méthode de calcul d’aire.

Le puzzle est une démonstration, pas l’énoncé lui-même. Dans la source, la forme en puzzle géométrique qualifie la démonstration proposée par Thabit Ibn Qurra. Le résultat démontré reste le théorème de Pythagore.

Les nombres amiables précisent l’objet arithmétique auquel Thabit Ibn Qurra consacra une partie de ses recherches.

La fiche Archimède replace les procédés infinitésimaux et les calculs d’aires dans la tradition mathématique évoquée ici.

La fiche Euclide éclaire l’une des œuvres grecques que Thabit Ibn Qurra traduisit et commenta.

Le théorème de Pythagore expose le résultat dont Thabit Ibn Qurra proposa une démonstration en puzzle géométrique.