théorème de Thabit Ibn Qurra

Prenez 220 et additionnez tous ses diviseurs plus petits que lui : le total vaut 284. Faites la même chose avec 284 : ses diviseurs propres totalisent 220. Les deux nombres se répondent ainsi et forment une paire de nombres amiables.

Le théorème de Thabit Ibn Qurra donne une recette pour fabriquer certaines de ces paires. On choisit un entier, on calcule trois nombres auxiliaires, puis on vérifie qu’ils sont tous premiers avant de construire la paire.

Deux entiers naturels sont amiables lorsque chacun est la somme des diviseurs propres de l’autre. Un diviseur propre d’un entier est un diviseur positif différent de cet entier. Le théorème de Thabit Ibn Qurra fournit un critère de construction de telles paires à partir d’un entier naturel n strictement supérieur à 1.

À partir de n, on définit trois entiers auxiliaires nommés a, b et c : Si a, b et c sont tous premiers, alors 2ⁿ × a × b et 2ⁿ × c sont amiables. La primalité simultanée des trois auxiliaires est une condition suffisante : elle garantit la conclusion. Elle n’est pas nécessaire, car certaines paires amiables ne proviennent pas de ce critère.

Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1. On calcule les trois entiers suivants :

Si a, b et c sont tous les trois premiers, alors les entiers 2ⁿ × a × b et 2ⁿ × c sont amiables. Chacun est donc égal à la somme des diviseurs propres de l’autre.

Le critère s’applique à un entier naturel n avec n > 1. Les trois valeurs a = 3 × 2ⁿ − 1, b = 3 × 2ⁿ⁻¹ − 1 et c = 9 × 2²ⁿ⁻¹ − 1 doivent ensuite être vérifiées séparément. La paire annoncée n’est obtenue que si ces trois entiers sont premiers.

Pour n = 3, on trouve a = 23, b = 11 et c = 287. Or 287 = 7 × 41 : c n’est pas premier. Le théorème ne permet donc aucune conclusion pour ce choix de n ; il faut essayer une autre valeur ou employer une autre construction, puis vérifier directement les sommes de diviseurs propres.

Choisissons n = 2. Les données à utiliser sont la puissance 2² = 4 et les trois expressions qui définissent a, b et c.

Étape 1. On calcule a = 3 × 2² − 1 = 11 et b = 3 × 2¹ − 1 = 5.

Étape 2. On calcule c = 9 × 2³ − 1 = 71. Les nombres 11, 5 et 71 sont premiers, donc l’hypothèse du théorème est satisfaite.

Étape 3. La première valeur construite est 2² × 11 × 5 = 220. La seconde est 2² × 71 = 284.

Étape 4. Le contrôle direct donne 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Pour 284, il donne 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Ainsi, 220 et 284 sont amiables. Le schéma synthétise ce double échange entre un nombre et la somme des diviseurs propres de l’autre.

Pour tester une valeur de n, on calcule d’abord a, b et c. Dès qu’un des trois est composé, le critère s’arrête : il est inutile de construire les deux grands entiers pour invoquer ce théorème.

Si les trois auxiliaires sont premiers, on forme 2ⁿ × a × b et 2ⁿ × c. Ce calcul fournit une paire candidate garantie amiable par le théorème.

Pour contrôler un résultat de petite taille, on liste les diviseurs propres de chaque nombre et on additionne chaque liste. Cette vérification directe est préférable lorsque l’on veut confirmer une paire donnée sans savoir comment elle a été construite.

Il ne faut pas confondre nombres amiables et nombres premiers. Deux nombres sont amiables lorsque leurs sommes de diviseurs propres s’échangent ; un nombre premier, lui, est utilisé ici comme condition sur les auxiliaires a, b et c.

Le cas n = 2 tranche nettement : 11, 5 et 71 sont premiers, tandis que les nombres amiables produits, 220 et 284, ne le sont pas. La primalité porte donc sur les trois ingrédients du critère, pas sur les deux résultats.

La condition de primalité est suffisante, mais non nécessaire. Une paire amiable peut donc être authentique sans être obtenue par les trois auxiliaires de Thabit Ibn Qurra. Dans ce cas, il faut revenir à la définition et comparer les deux sommes de diviseurs propres.

Le seuil n > 1 est indispensable. Pour n = 1, les auxiliaires 5, 2 et 17 sont premiers, mais les nombres construits sont 20 et 34. Or les diviseurs propres de 20 totalisent 22, et non 34 : la conclusion échoue.

Il ne suffit pas que deux auxiliaires soient premiers. Pour n = 3, a = 23 et b = 11 le sont, mais c = 287 = 7 × 41 est composé. Le symptôme est une factorisation non triviale ; le critère doit alors être abandonné pour cette valeur de n.

La fiche nombres amiables approfondit la relation réciproque entre les deux sommes de diviseurs propres.

La fiche nombre premier précise la condition imposée aux trois entiers auxiliaires du théorème.

La fiche arithmétique situe cette construction dans l’étude des propriétés des entiers.