Una caratteristica dell’essere umano è la capacità di ragionare, ossia di trarre in modo convincente una conclusione a partire da ipotesi. Secondo George Pólya, in base alla natura della conclusione si possono distinguere due tipi di ragionamento:
• i ragionamenti plausibili, che forniscono una conclusione incerta ma plausibile («più o meno probabile»);
• i ragionamenti dimostrativi, che portano a una conclusione certa (in un quadro ben definito).
Una volta compiuta, la matematica usa soltanto ragionamenti dimostrativi: ecco perché è spesso considerata la scienza di riferimento in fatto di rigore e verità. Durante la sua costruzione ed elaborazione, però, assomiglia a ogni altra conoscenza umana allo stesso stadio di sviluppo: un enunciato matematico va «indovinato» prima di essere, se possibile, dimostrato e all’inizio non è dunque che una congettura, non ancora un teorema.
Così, quando lavora a una nuova teoria, un matematico si comporta come qualunque altro scienziato: procede in modo induttivo e cerca di trovare un enunciato generale esaminando attentamente alcuni casi particolari. Ora, ogni induzione conduce a una conclusione non certa, ma soltanto plausibile. Del resto, il filosofo britannico David Hume fu, nel 18º secolo, tra i primi a ritenere che l’induzione non sia sempre affidabile. Secondo lui, questo tipo di ragionamento si fonda su considerazioni psicologiche, essenzialmente sull’abitudine, piuttosto che su argomenti logici.
