Frazioni egizie: ancora Erdős ---------------------------------------
Avevamo appena parlato di Erdős, ed eccolo riapparire. A circa vent’anni dalla sua morte, continua a pubblicare! Lo fa attraverso le congetture che ha formulato e lasciato dietro di sé, e naturalmente anche grazie agli amici e ai discepoli che ne trovano (talvolta) le dimostrazioni. Uno di questi problemi, dal solito enunciato semplice ma rompicapo da risolvere, riguardava le frazioni egizie: «Ogni intero può essere scritto come somma di frazioni egizie (frazioni con numeratore 1) i cui denominatori sono il prodotto di due numeri primi distinti?». Con il collega e amico Ronald Graham dell’Università di San Diego, in California, erano così sicuri dei loro risultati da annunciarne una dimostrazione nel libro di Richard Guy Unsolved problems in number theory, pubblicato nel 1981. Eppure bisognò attendere il dicembre 2015 per vedere una dimostrazione di questo risultato per tre numeri primi distinti, appena sottoposta in prepubblicazione da Graham e Steve Butler dell’Università dell’Iowa, uno studente della moglie di Graham, in un articolo firmato anche da Erdős… quanto basta per aumentare di un’unità il loro numero di Erdős. Butler cercò scomposizioni al computer e i calcoli di Graham permisero di superare i limiti della macchina. Certi di poter fare di meglio, i due autori annunciano già di essere persuasi che ogni intero possa essere scritto come somma di frazioni egizie i cui denominatori sono prodotti di w numeri primi distinti. In ogni caso, per w = 2, sono già riusciti a scrivere 1 come somma di 48 frazioni unitarie con denominatore prodotto di due numeri primi distinti.
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Equazioni di Einstein: un passo avanti ----------------------------------