Preda Mihailescu, colui che ha risolto la congettura di Catalan -------------------------------------------
Il nome del matematico romeno Preda Mihailescu comparve sulle pagine delle riviste scientifiche nel 2002, associato a quello del matematico belga del 19º secolo Eugène Catalan. Mihailescu aveva infatti appena dimostrato una congettura vecchia di oltre centocinquant’anni. Fu nel 1844 che Eugène Catalan pubblicò la seguente congettura nel Journal de Crelle (o Journal für die reine und angewandte Mathematik): *«Il seguente teorema, che ritengo vero, benché non sia ancora riuscito a dimostrarlo completamente: due numeri interi consecutivi, diversi da 8 e 9, non possono essere potenze esatte; in altre parole, l’equazione xm – yn = 1, nella quale le incognite sono intere e positive, ammette una sola soluzione (9 – 8 = 1).»*
Mihailescu ne pubblicò la dimostrazione nello stesso Journal de Crelle, centocinquantotto anni dopo. La sua dimostrazione, lunga e tecnica, ricorre a calcoli al computer e si basa su lavori precedenti di Ko Chao (1964), Robert Tijdeman (1976), Yann Bugeaud e Guillaume Hanrot (1998) e Maurice Mignotte (2001).
Il caso dell’equazione xm – yn = 2 è invece ben lontano dall’essere risolto. Si congettura che l’unica soluzione di questa equazione sia 33 – 52 = 2. Ma questa equazione, apparentemente vicina a quella proposta da Catalan, è in realtà molto diversa e assai più temibile (non consente di ricorrere alla ciclotomia, che consiste nell’aggiungere radici dell’unità a una struttura di campo).
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La «modestia» di André Weil ----------------------------
All’inizio degli anni Ottanta, il severo e sarcastico André Weil concesse a Philippe Boulanger un’intervista nella propria abitazione. L’interessato si presentò quindi in rue Auguste-Comte (filosofo che Weil detestava perché sulla targa della via si leggeva: «filosofo e matematico»; Weil gli negava entrambe le qualità). Appollaiato sullo sgabello del pianoforte, il giornalista poneva le sue domande di fronte al matematico, comodamente seduto nella sua grande poltrona. Una domanda riguardava i premi. Il padre delle celebri congetture di Weil, dimostrate poco tempo prima, si lanciò in una lunga invettiva sostenendo che i premi incoraggiavano le menti superficiali e non ricompensavano i lavori di fondo, e che erano quindi una vergogna per chi li riceveva.
Le sue parole furono riferite fedelmente e l’articolo fu inviato a Weil per la verifica. Volendo chiarire alcuni punti, egli convocò nuovamente l’autore, sempre in rue Auguste-Comte. Questi, arrivato in anticipo, acquistò un giornale nel quale lesse che Weil aveva ricevuto, e accettato, il riccamente dotato premio Wolf! All’ora convenuta, il nostro collaboratore entrò in salotto e rilesse maliziosamente a Weil il paragrafo del suo articolo sui premi, per sapere se ne approvasse il contenuto. Weil affermò seccamente che, a differenza dei giornalisti, lui non cambiava idea tutti i giorni… Sulla soglia, mentre usciva, l’autore osservò di non essersi congratulato con lui per il premio Wolf. Compresa l’ironia, Weil gli ordinò di tornare sullo sgabello e gli spiegò a lungo che solo le menti semplici potevano scorgervi un paradosso, mentre non era che un riflesso della sua modestia. «Se pensassi che rifiutando questo premio tutti i premi sarebbero stati soppressi, l’avrei rifiutato. Ma poiché ritengo che la mia modesta persona non abbia questo potere, ho deciso di accettarlo, per disperazione.» Parola per parola!
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La macchina delle congetture ------------------------
«Ogni numero pari è la somma di due numeri primi». La congettura di Goldbach è illustrata da un’installazione del Mathematikum di Giessen (Germania), con l’aiuto… di una catena da bicicletta! Gli interi da 3 a 150 sono rappresentati lungo una catena circolare; i numeri primi, in rosso, si distinguono dagli altri. La catena è fissata in modo tale che gli interi posti uno di fronte all’altro, come a una tavola imbandita, abbiano sempre la stessa somma (un numero pari). Il numero posto all’estremità della catena vale la metà di tale somma. La verifica della celebre congettura (per piccoli numeri) consiste dunque nell’individuare, per ogni posizione della catena, almeno una coppia di interi rossi.
Nell’illustrazione, il numero 40 è posto all’estremità. Si visualizzano quindi coppie di numeri la cui somma è 80. Una coppia nell’immagine è interamente rossa (costituita da numeri primi): 37 e 43.