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*«[…il] seguente teorema, che ritengo vero, benché non sia ancora riuscito a dimostrarlo completamente: due numeri interi consecutivi, diversi da 8 e 9, non possono essere potenze perfette; in altri termini, l’equazione xm – yn = 1, in cui le incognite sono intere e positive, ammette un’unica soluzione.»*
Era nato un celebre problema aritmetico!
I progressi nella dimostrazione di questa congettura furono lenti e riguardarono dapprima casi particolari. Già nel 1850 il matematico francese Victor-Amédée Le Besgue (1791‒1875) dimostrò che, per ogni numero primo p, l’equazione *x p – y*2 = 1 non ammette soluzioni intere non banali.
Bisognò poi attendere più di un secolo prima che il matematico cinese Zhao Ke (1910‒2002) dimostrasse il seguente teorema: se p è un numero primo, allora le soluzioni banali 32 – 23 = 1 e (–3)2 – 23 = 1 sono le uniche soluzioni di x2 – *y p* = 1.
