Les puissances de nombres
Qu’ont en commun le grand théorème de Fermat, la conjecture de Catalan, le dénombrement de grains de riz sur un échiquier ou encore le problème de Waring ? Ils font tous intervenir des puissances, et ils ont occupé (et occupent encore !) les mathématiciens depuis parfois des siècles. Les nombres se prêtent avec bonheur à cette « cinquième opération arithmétique » qu’est l’élévation à une puissance donnée. Dès lors, les expérimentations fleurissent, dont vont émerger certaines des plus fameuses conjectures et quelques applications inattendues. En cryptographie, assurer la confidentialité des échanges demande d’utiliser de très grands nombres et l’élévation à une puissance est un outil qui permet d’en obtenir avec un coût modéré en termes de temps de calcul.
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La quinta operazione
Se le quattro operazioni — addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione — si studiano fin dalla scuola primaria, bisogna attendere il terzo anno della scuola secondaria per scoprirne una quinta: l’elevazione a potenza di un numero.
Da Sissa a RSA
A che serve elevare numeri a una potenza, se non a divertirsi scoprendo qualche proprietà aritmetica dei numeri naturali? Inaspettatamente, quest’arte del calcolo ancestrale è al centro della crittografia moderna e della trasmissione sicura dei dati.
Il famoso numero 1729 di Hardy e Ramanujan | Tangente
I più piccoli numeri interi che si scrivono come somma di due cubi in tre modi diversi, poi in quattro modi diversi e così via sono spesso chiamati numeri taxicab.
Il problema di Catalan
Nel 1844 il matematico franco-belga Eugène Catalan pubblicò la sua celebre congettura nel Journal de Crelle.
Quando Eulero commette errori
Anche i più grandi matematici possono talvolta sbagliarsi. È umano! È capitato persino a una delle leggende della matematica, l’immenso Leonhard Eulero, a proposito di somme di potenze.
Il problema di Waring: 250 anni di ricerche | Tangente
Dal XVIII secolo, un celebre problema, la congettura di Waring, sfida i matematici. Ogni intero N è somma di al più quattro quadrati, oppure di al più nove cubi. Analogamente, dato un intero n, N è somma di al più g(n) potenze n-esime e, in caso affermativo, qual è il più piccolo valore di g(n)?