I più piccoli numeri interi che si scrivono come somma di due cubi in tre modi diversi, poi in quattro modi diversi e così via sono spesso chiamati numeri taxicab.
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Se le quattro operazioni — addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione — si studiano fin dalla scuola primaria, bisogna attendere il terzo anno della scuola secondaria per scoprirne una quinta: l’elevazione a potenza di un numero.
Dal XVIII secolo, un celebre problema, la congettura di Waring, sfida i matematici. Ogni intero N è somma di al più quattro quadrati, oppure di al più nove cubi. Analogamente, dato un intero n, N è somma di al più g(n) potenze n-esime e, in caso affermativo, qual è il più piccolo valore di g(n)?
Con lo sviluppo della teoria delle probabilità all’inizio del XX secolo, all’aritmetica si apre un nuovo campo d’indagine: studiare gli interi da un punto di vista statistico. Paul Erdős fu tra i primi matematici a cogliere la portata di questo nuovo approccio.
Il sistema crittografico più diffuso si basa sull’uso di numeri interi molto grandi, la cui fattorizzazione resta fuori dalla portata dei nostri computer. Già nel XVII secolo, Mersenne e Fermat si interessarono alla scomposizione in fattori primi di numeri molto grandi; i loro lavori ispirarono i moderni algoritmi di fattorizzazione.
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