I più piccoli numeri interi che si scrivono come somma di due cubi in tre modi diversi, poi in quattro modi diversi e così via sono spesso chiamati numeri taxicab.
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Dal XVIII secolo, un celebre problema, la congettura di Waring, sfida i matematici. Ogni intero N è somma di al più quattro quadrati, oppure di al più nove cubi. Analogamente, dato un intero n, N è somma di al più g(n) potenze n-esime e, in caso affermativo, qual è il più piccolo valore di g(n)?
Paul Erdős e Leonidas Alaoglu studiarono i numeri altamente abbondanti e superabbondanti, riscoprendo peraltro nozioni già studiate ma non pubblicate dal celebre matematico indiano Ramanujan.
Il sistema crittografico più diffuso si basa sull’uso di numeri interi molto grandi, la cui fattorizzazione resta fuori dalla portata dei nostri computer. Già nel XVII secolo, Mersenne e Fermat si interessarono alla scomposizione in fattori primi di numeri molto grandi; i loro lavori ispirarono i moderni algoritmi di fattorizzazione.
La teoria analitica e probabilistica dei numeri fu uno degli ambiti prediletti di Paul Erdős. Ecco una breve rassegna dei suoi contributi in questo campo, scelti qua e là fra argomenti la cui presentazione resta accessibile.
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