Los números enteros más pequeños que pueden escribirse como suma de dos cubos de tres formas distintas, de cuatro formas distintas, y así sucesivamente, reciben a menudo el nombre de números taxicab.
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Desde el siglo XVIII, un célebre problema, la conjetura de Waring, desafía a los matemáticos. Todo entero N es suma de a lo sumo cuatro cuadrados o de a lo sumo nueve cubos. Del mismo modo, dado un entero n, ¿es N suma de a lo sumo g(n) potencias n-ésimas y, en caso afirmativo, cuál es el menor valor de g(n)?
Paul Erdős y Leonidas Alaoglu estudiaron los números altamente abundantes y superabundantes, redescubriendo de paso nociones que ya había estudiado, aunque no publicadas, el célebre matemático indio Ramanujan.
El sistema criptográfico más extendido se basa en el uso de números enteros muy grandes, cuya factorización sigue estando fuera del alcance de nuestros ordenadores. Ya en el siglo XVII, Mersenne y Fermat abordaron la descomposición en factores primos de números muy grandes; sus trabajos inspiraron los algoritmos modernos de factorización.
La teoría analítica y probabilística de números fue uno de los temas predilectos de Paul Erdős. He aquí una pequeña selección de sus aportaciones en este ámbito, extraídas de temas cuya presentación sigue siendo accesible.
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