Las potencias de los números
¿Qué tienen en común el gran teorema de Fermat, la conjetura de Catalan, el conteo de granos de arroz en un tablero de ajedrez o también el problema de Waring? Todos involucran potencias, y han ocupado (¡y siguen ocupando!) a los matemáticos durante a veces siglos. Los números se prestan muy bien a esta «quinta operación aritmética» que es la elevación a una potencia dada. Desde entonces, proliferan las experimentaciones, de las cuales surgirán algunas de las conjeturas más célebres y algunas aplicaciones inesperadas. En criptografía, garantizar la confidencialidad de los intercambios requiere utilizar números muy grandes y la elevación a una potencia es una herramienta que permite obtenerlos con un costo moderado en términos de tiempo de cálculo.
Todos los artículos de este dossier
La quinta operación
Si las cuatro operaciones —suma, resta, multiplicación y división— se estudian desde la escuela primaria, hay que esperar hasta el tercer curso de la enseñanza secundaria para descubrir una quinta: la elevación de un número a una potencia.
De Sissa a RSA
¿Para qué elevar números a una potencia, sino para divertirse descubriendo alguna propiedad aritmética de los números naturales? De manera inesperada, este arte ancestral del cálculo está en el corazón de la criptografía moderna y de la transmisión segura de datos.
El famoso número 1729 de Hardy y Ramanujan | Tangente
Los números enteros más pequeños que pueden escribirse como suma de dos cubos de tres formas distintas, de cuatro formas distintas, y así sucesivamente, reciben a menudo el nombre de números taxicab.
El problema de Catalan
En 1844, el matemático franco-belga Eugène Catalan publicó su célebre conjetura en el Journal de Crelle.
Cuando Euler comete errores
Los grandes matemáticos también pueden equivocarse. ¡Es humano! Le ocurrió incluso a una de las leyendas de las matemáticas, el gran Leonhard Euler, en relación con las sumas de potencias.
El problema de Waring: 250 años de investigación | Tangente
Desde el siglo XVIII, un célebre problema, la conjetura de Waring, desafía a los matemáticos. Todo entero N es suma de a lo sumo cuatro cuadrados o de a lo sumo nueve cubos. Del mismo modo, dado un entero n, ¿es N suma de a lo sumo g(n) potencias n-ésimas y, en caso afirmativo, cuál es el menor valor de g(n)?