El problema de Catalan

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*« […el] siguiente teorema, que creo verdadero, aunque todavía no he conseguido demostrarlo por completo: dos números enteros consecutivos, distintos de 8 y 9, no pueden ser potencias exactas; dicho de otro modo, la ecuación x^m – yⁿ = 1, en la que las incógnitas son enteras y positivas, solo admite una solución.»*

¡Había nacido un célebre problema aritmético!

Los avances para demostrar esta conjetura serían lentos y se centrarían primero en casos particulares. Ya en 1850, el matemático francés Victor-Amédée Le Besgue (1791‒1875) demostró que, para todo número primo p, la ecuación *x ^p – y*² = 1 no tiene solución no trivial en números enteros.

Habría que esperar más de un siglo para que el matemático chino Zhao Ke (1910‒2002) demostrara el siguiente teorema: si p es un número primo, las soluciones triviales 3² – 2³ = 1 y (–3)² – 2³ = 1 son las únicas soluciones de x² – *y ^p* = 1.