Preda Mihailescu, el «vencedor de Catalan» -------------------------------------------
El nombre del matemático rumano Preda Mihailescu apareció en las columnas de las revistas científicas en 2002, asociado al del matemático belga del XIX siglo Eugène Catalan. Mihailescu acababa de demostrar una conjetura con más de ciento cincuenta años de antigüedad. En 1844, Eugène Catalan publicó la siguiente conjetura en el Journal de Crelle (o Journal für die reine und angewandte Mathematik): *«El siguiente teorema, que creo verdadero, aunque todavía no he conseguido demostrarlo por completo: dos números enteros consecutivos, distintos de 8 y 9, no pueden ser potencias exactas; dicho de otro modo, la ecuación xm – yn = 1, cuyas incógnitas son enteras y positivas, solo admite una solución (9 – 8 = 1).»*
Mihailescu publicaría la demostración en el mismo Journal de Crelle, ciento cincuenta y ocho años después. Su demostración, larga y técnica, recurre a cálculos por ordenador y se apoya en trabajos anteriores de Ko Chao (1964), Robert Tijdeman (1976), Yann Bugeaud y Guillaume Hanrot (1998), y Maurice Mignotte (2001).
En cambio, el caso de la ecuación xm – yn = 2 dista mucho de estar resuelto. Se conjetura que la única solución de esta ecuación es 33 – 52 = 2. Pero esta ecuación, aparentemente próxima a la propuesta por Catalan, es en realidad muy distinta y mucho más temible (no permite recurrir a la ciclotomía, que consiste en añadir raíces de la unidad a un cuerpo).
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La «modestia» de André Weil ----------------------------
A comienzos de los años 1980, el severo y sarcástico André Weil concedió a Philippe Boulanger una entrevista en su domicilio. El interesado se presentó, pues, en la calle Auguste-Comte (filósofo al que Weil detestaba porque en la placa de su calle figuraba: «filósofo y matemático»; Weil le negaba ambas cualidades). Sentado en el taburete del piano, el periodista planteaba sus preguntas frente al matemático, cómodamente instalado en su gran sillón. Una de ellas trataba sobre los premios. El padre de las célebres conjeturas de Weil, demostradas poco antes, se lanzó a una larga diatriba en la que afirmaba que los premios alentaban a las mentes superficiales, no recompensaban los trabajos de fondo y constituían, por tanto, una vergüenza para quienes los recibían.
Las declaraciones fueron recogidas fielmente y el artículo se envió a Weil para su comprobación. Como quería precisar algunos puntos, volvió a convocar al autor, de nuevo en la calle Auguste-Comte. Este, que llegó temprano, compró un periódico en el que leyó que Weil había recibido y aceptado el premio Wolf, ¡muy bien dotado! A la hora exacta, nuestro colaborador entró en el salón y le leyó maliciosamente a Weil el párrafo de su artículo sobre los premios, para saber si estaba de acuerdo con su contenido. Este afirmó secamente que, a diferencia de los periodistas, él no cambiaba de opinión todos los días… Al salir, en el umbral de la puerta, el autor mencionó que no le había felicitado por el premio Wolf. Al comprender la ironía, Weil le ordenó que volviera a su taburete y le explicó largamente que solo las mentes simples podían ver ahí una paradoja, cuando no era más que un reflejo de su modestia. «Si pensara que, al rechazar este premio, se suprimirían todos los premios, lo habría rechazado. Pero como creo que mi modesta persona no tiene ese poder, he decidido aceptarlo como último recurso.» ¡Literalmente!
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La máquina de las conjeturas ------------------------
«Todo número par es la suma de dos números primos». La conjetura de Goldbach está ilustrada por una instalación del Mathematikum de Giessen (Alemania) con ayuda de… ¡una cadena de bicicleta! Los enteros del 3 al 150 están representados a lo largo de una cadena circular, y los números primos, en rojo, se distinguen de los demás. La cadena está dispuesta de tal manera que los enteros enfrentados, como en una mesa de banquete, siempre suman lo mismo (un número par). El número situado en el extremo de la cadena vale la mitad de esa suma. La comprobación de la célebre conjetura (con números pequeños) se realiza, por tanto, identificando para cada posición de la cadena al menos un par de enteros rojos.
En la ilustración, el número 40 está situado en el extremo. Se visualizan, por tanto, pares de números cuya suma es 80. Un par de la imagen es enteramente rojo (está formado por números primos): 37 y 43.