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« […le] théorème suivant, que je crois vrai, bien que je n’aie pas encore réussi à le démontrer complètement : deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent pas être des puissances exactes ; autrement dit, l’équation xm – yn = 1, dans laquelle les inconnues sont entières et positives, n’admet qu’une seule solution. »
Un fameux problème arithmétique était né !
Les progrès pour démontrer cette conjecture seront lents et porteront d’abord sur des cas particuliers. Dès 1850, le mathématicien français Victor-Amédée Le Besgue (1791‒1875) démontre que, pour tout nombre premier p, l’équation x p – y2 = 1 n’a pas de solution non triviale en nombres entiers.
Il faudra ensuite attendre plus d’un siècle avant que le mathématicien chinois Zhao Ke (1910‒2002) ne démontre le théorème suivant : si p est un nombre premier, alors les solutions triviales 32 – 23 = 1 et (–3)2 – 23 = 1 sont les uniques solutions de x2 – y p = 1.
