Buffon y el azar en geometría

Buffon es un naturalista de obra monumental. Su Histoire naturelle, générale et particulière, en cuarenta y cuatro volúmenes, aparece a lo largo del Siglo de las Luces. Es también un escritor y un científico completo. En 1733 presenta a la Academia de Ciencias una memoria sobre el juego del franc-carreau que tendrá gran repercusión. En ella estudia varios juegos de azar en los que la probabilidad de ganar involucra magnitudes geométricas. Hasta entonces, los cálculos sobre los juegos de cartas o de dados se basaban en magnitudes discretas. Aquí, Buffon pretende «poner, pues, a la Geometría en posesión de sus derechos sobre la ciencia del azar». Para ello, considera juegos de naturaleza «geométrica». El primero es el juego del franc-carreau. Se dispone de un enlosado formado por cuadrados iguales de lado a. Se lanza una moneda sobre el enlosado y se pregunta cuál es la probabilidad de que caiga franc-carreau, es decir, por completo dentro de un cuadrado, sin tocar los bordes. Para ganar, el centro de la moneda, considerada como un disco de radio r, debe encontrarse por tanto en un pequeño cuadrado de lado a – 2r.

El cuadrado gris es la zona en la que debe encontrarse el centro de la moneda para ganar al juego del franc-carreau.

Para el jugador, la probabilidad de ganar es, por tanto, la razón entre dos áreas: la del pequeño cuadrado gris y la de una baldosa, y vale (a – 2r)² / a². Buffon deduce entonces cuál debe ser el diámetro d de la moneda para que el juego sea equitativo: es necesario que d sea igual a

es decir, aproximadamente 0,29a.

El segundo juego que considera Buffon consiste en lanzar una aguja sobre un entablado. Esta experiencia recibe hoy comúnmente el nombre de problema de la aguja de Buffon. En este juego se lanza una aguja —modelizada por un segmento de semilongitud l— sobre un entablado de tablillas de anchura a (mayor que l). Se supone que las tablillas son infinitamente largas, y Buffon se interesa por la probabilidad de que la aguja cruce el borde de una tablilla. Muestra de nuevo que esta probabilidad puede expresarse como una razón entre dos áreas: la de los casos «favorables» y la de todos los casos posibles.

La posición de la aguja queda determinada por un número comprendido entre 0 y a (que mide la distancia del centro de la aguja al borde superior de la tablilla en la que se encuentra) y por el ángulo α que forma la aguja con la horizontal (la dirección de las tablillas).

En gris, la zona potencialmente perdedora para el jugador.

Para que la aguja cruce una junta, es necesario que y < l sin α (en ese caso, la aguja cruza el borde superior de la tablilla) o que y > a – l sin α (la aguja cruza entonces el borde inferior de la tablilla). Así, la probabilidad de cruce es igual a la razón entre dos áreas: la del conjunto de los (y, α) favorables y la del conjunto de los (y, α) posibles. Este segundo conjunto —en gris en la figura— está delimitado por dos tramos de sinusoides, y su área se calcula a partir de una integral. Así, obtenemos que la probabilidad de cruce es igual al área gris dividida por el área del rectángulo, es decir,

lo que da

Con estos dos ejemplos, Buffon muestra cómo pueden interactuar la geometría y la probabilidad; es el acta de nacimiento de una rama de las matemáticas llamada geometría estocástica. El principio general consiste en calcular probabilidades relativas a objetos geométricos como puntos, segmentos, rectas o discos… Es un ámbito muy activo, tanto en el plano teórico como en el de las aplicaciones.

Al final de su memoria, Buffon observa que muchas cuestiones podrían resolverse mediante cálculos similares:

> «Estos ejemplos bastan para dar una idea de los juegos que se pueden imaginar sobre las relaciones de extensión; podrían plantearse otras muchas cuestiones de esta clase, que no dejarían de ser curiosas e incluso útiles: si se preguntara, por ejemplo, cuánto se arriesga al cruzar un río por una tabla más o menos estrecha; qué temor se debe tener al rayo o a la caída de una bomba, y otros muchos problemas de conjetura, en los que solo debe considerarse la relación de extensión y que, por consiguiente, pertenecen tanto a la Geometría como al Análisis.»

Como señala Joseph Bertrand en su obra Calcul des probabilités (Gauthier-Villars, 1889): «La probabilidad de un acontecimiento es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles. Hay una condición implícita: todos los casos deben ser igualmente posibles.» Bertrand propone entonces un pequeño cálculo «elemental» de probabilidad relativo a una cuerda de una circunferencia. Este pequeño problema, llamado paradoja de Bertrand, conduce a resultados distintos según el razonamiento seguido. El problema se enuncia así: ¿cuál es la probabilidad p de que una recta trazada al azar en una circunferencia de radio 1 determine una cuerda [AB] de longitud mayor que $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$, longitud del lado de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia? Se pueden seguir al menos tres razonamientos distintos.

Primer razonamiento: tras girar la figura si es necesario, podemos suponer que A es fijo. El punto B debe encontrarse entonces en el arco de circunferencia opuesto a A; por tanto, la probabilidad vale 1/3.

Primer razonamiento: p = 1/3.

Segundo razonamiento: tras girar la figura si es necesario, podemos suponer que la cuerda [AB] es horizontal. Entonces debe situarse a una distancia del centro menor que 1/2; por tanto, la probabilidad vale 1/2.

Segundo razonamiento: p = 1/2.

Tercer razonamiento: el centro de la cuerda, denotado por C, debe encontrarse en un disco —gris en la figura— cuyo radio es la mitad del de la circunferencia grande. La probabilidad buscada vale entonces la razón entre el área del disco grande y la del disco pequeño, es decir, 1/4.

Tercer razonamiento: p = 1/4.

¿Cuál es el resultado «correcto»? ¿Y cómo explicar que los tres razonamientos lleguen a tres resultados distintos? Todo procede de la expresión «lanzar una recta al azar». Para definir bien esta noción, hay que examinar primero la representación de las rectas. Por lo general, una recta D se define como el conjunto de puntos de coordenadas (x, y) que verifican una ecuación de tipo ax + by + c = 0; los coeficientes a, b y c sirven para representar D. Pero esta representación no es única: por ejemplo, pueden sustituirse a, b y c por 2a, 2b y 2c, respectivamente, sin modificar D. En cambio, es posible encontrar otra representación de D, llamada «canónica». Representaremos D mediante dos parámetros: θ —el ángulo entre la perpendicular a la recta que parte de O y la horizontal— y r —la distancia de la recta al origen O del sistema de referencia—. D es entonces el conjunto de los puntos (x, y) del plano que verifican la ecuación x cos (θ) + y sin (θ) – r = 0. Al establecer así la correspondencia entre «punto (θ, r)» y «recta del plano», vemos que «lanzar una recta al azar» equivale a «lanzar un punto (θ, r) al azar».

Elección al azar de pares (θ, r).

Rectas correspondientes.

Así, el conjunto de las rectas que verifican cierta propiedad P corresponde a una región U(P) del plano (θ, r). La representación (θ, r) es una buena representación porque es la única que garantiza la invariancia por traslación y rotación. Así, si se cambia el sistema de referencia desplazando O y girando los ejes, para toda propiedad P, la medida —o área— de U(P) es igual a la medida de U’(P), donde U’(P) designa el conjunto de puntos (θ’, r’) que representan las rectas del nuevo sistema de referencia y que también verifican P.

Podemos tomar como ejemplo la propiedad «cortar un disco de radio R». Gracias a la invariancia por traslación, podemos considerar el disco centrado en O y de radio R. El conjunto E de los puntos (θ, r) tales que la recta D de parámetros θ y r corta el disco es entonces el rectángulo cuyos lados tienen, respectivamente, longitudes 2π y R. La medida de E es, por tanto, el área del rectángulo y vale 2π R, lo que también es igual al perímetro del disco.

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Este ejemplo nos permite dar «la solución» a la paradoja de Bertrand: la probabilidad de que la cuerda [AB] sea más larga es igual a la probabilidad de que una recta que corta el disco grande de radio 1 corte también el disco pequeño de radio 1/2. Ahora bien, esta probabilidad vale la razón entre el perímetro del disco pequeño y el del disco grande —y no la razón entre sus áreas, como en el tercer razonamiento propuesto—. Así, la respuesta «correcta» es p = (2π × 0,5) / (2π × 1), es decir, p = 1/2.

De hecho, este resultado se generaliza más ampliamente, y puede demostrarse que la medida del conjunto de rectas que cortan un convexo K es igual al perímetro de K.

Un conjunto K es convexo si, al tomar dos puntos cualesquiera del interior de K, el segmento que los une está enteramente contenido en K.

Las aplicaciones de la geometría estocástica se basan en los desarrollos teóricos, pero también ocurre lo contrario: las cuestiones que se plantean en determinadas aplicaciones dan lugar a nuevos desarrollos teóricos. Así sucede con la estereología, cuyo objetivo es obtener información sobre un objeto bidimensional desconocido a partir de medidas tomadas en sus secciones unidimensionales.

Imaginemos un rectángulo que contiene un objeto K desconocido. Si lanzamos rectas al azar a través del rectángulo, y la única información de salida consiste en saber si la recta ha cortado o no el objeto, accedemos entonces a la probabilidad de que una recta lanzada al azar que corta el rectángulo corte también K. ¡Pero esta probabilidad es igual a la razón entre el perímetro de K —supuesto convexo— y el perímetro del rectángulo! Este principio se utiliza mucho en la ciencia de materiales, pues permite obtener características geométricas —como el perímetro— del objeto.

En otro ámbito, la síntesis de imágenes es un ejemplo quizá más inesperado en el que interviene la geometría estocástica. En lugar de lanzar una aguja, se pueden lanzar pequeñas imágenes que representan un motivo. Si se lanzan muchas copias de un mismo motivo sobre una gran superficie, tras normalizar por la media y la varianza se obtiene —mediante el teorema central del límite— una gran imagen, llamada imagen de textura. Estas imágenes se utilizan mucho en las películas de animación y los videojuegos, donde es necesario generar imágenes sintéticas que representen el decorado —cielo, hierba, arena, mármol, tela…—.


Un procedimiento de este tipo —equivalente a «filtrar» un ruido con un filtro bien elegido— permitió a Ken Perlin, profesor del Departamento de Informática de la Universidad de Nueva York, obtener en Hollywood un Óscar técnico en 1997 gracias a su método de síntesis de texturas denominado procedimental.

Más allá de estos ejemplos, la síntesis de imágenes también resulta muy útil en medicina para modelar y comprender las imágenes de tejidos biológicos

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Este texto procede de la conferencia impartida por Agnès Desolneux el miércoles 26 de abril de 2017 en la Bibliothèque nationale de France, dentro del ciclo «Un texte, un mathématicien». Agnès Desolneux es directora de investigación del CNRS en el Centre de mathématiques et leurs applications de l’École normale supérieure.