AnalyseUnité de mesure · Glossaire
Convergence en mesure
Une suite de fonctions mesurables converge en mesure vers une fonction limite f si, pour tout epsilon positif, la mesure de l'ensemble des points où la distance entre la suite et f dépasse epsilon tend vers zéro. La convergence uniforme entraîne la convergence en mesure. Si la mesure de l'espace est finie, la convergence presque partout l'entraîne également. Sur un espace probabilisé, la convergence en mesure et la convergence en probabilité désignent exactement la même notion. La convergence en mesure est importante en théorie de l'intégration et dans l'étude des suites de fonctions en analyse.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’ensemble où l’erreur dépasse une tolérance fixée.
- Vérifier la convergence en mesure sur une suite d’indicatrices.
- Distinguer convergence en mesure, uniforme, presque partout et dans Lᵖ.
- Reconnaître que la convergence en probabilité est le même critère sur un espace probabilisé.
En clair
Imaginez une bosse de hauteur 1 sur l’intervalle [0, 1]. À chaque étape, sa largeur est divisée par deux. La bosse ne devient pas moins haute, mais la zone où elle s’écarte de zéro devient de plus en plus petite. La convergence en mesure décrit précisément cette disparition par la taille de la zone gênante. Pour chaque tolérance positive fixée, la mesure des points où l’écart dépasse cette tolérance doit finir par tendre vers zéro.
Définition
Soit un espace mesuré, c’est-à-dire un ensemble X muni d’une tribu et d’une mesure μ. On considère des fonctions mesurables fn et une fonction mesurable f, à valeurs réelles ou, plus généralement, dans un espace métrique. La distance entre deux valeurs est notée d. La suite (fn) converge en mesure vers f lorsque, pour toute tolérance ε strictement positive, la mesure de l’ensemble où l’écart dépasse ε tend vers zéro.
Ce critère contrôle la taille mesurée des écarts importants, et non leur maximum. La convergence uniforme entraîne donc la convergence en mesure lorsque μ(X) est finie. Sur un espace de mesure finie, la convergence presque partout entraîne aussi la convergence en mesure. Les réciproques sont fausses en général. Dans un espace probabilisé, la mesure μ est une probabilité : la convergence en mesure porte alors exactement le nom de convergence en probabilité, et non celui d’une notion plus forte.
Où on le rencontre
On rencontre cette convergence dans les suites de fonctions définies sur un même espace mesuré : intervalles de la droite, domaines du plan ou espaces probabilisés. Quatre marqueurs la signalent : un indice n qui évolue, une fonction limite f, une tolérance ε fixée et un ensemble de points où l’écart reste trop grand. La valeur suivie n’est pas la hauteur de cet écart, mais la mesure de cet ensemble exceptionnel. Le cadre porte donc une information sur la place occupée par les erreurs, utile notamment en théorie de l’intégration.
Le mode d'emploi
La grandeur à lire est μ(En,ε), la mesure de la zone où l’erreur dépasse une tolérance donnée. 1. Fixez un nombre ε strictement positif, sans le faire dépendre de n. 2. Formez l’ensemble En,ε des points où la distance entre fn et f est supérieure à ε. 3. Calculez ou majorez sa mesure. 4. Recommencez pour tout ε positif et vérifiez que cette mesure tend vers zéro quand n tend vers l’infini.
L’œil peut être trompé par une pointe qui conserve sa hauteur : elle empêche parfois la convergence uniforme, mais pas nécessairement la convergence en mesure. Le bon réflexe consiste à regarder la largeur, l’aire ou, plus généralement, la mesure du lieu où l’écart franchit ε. La convention décisive est que μ mesure des sous-ensembles du domaine X, pas des écarts entre valeurs.
Un exemple, pas à pas
Sur l’intervalle [0, 1] muni de la mesure de longueur, la fonction fn vaut 1 sur [0, 1/n] et 0 ailleurs. La fonction candidate f vaut constamment 0. Les données sont donc une hauteur égale à 1, un support de longueur 1/n et une tolérance ε positive. La figure rend visible le support qui se resserre quand n augmente.
1. Si 0 < ε < 1, l’écart |fn − f| dépasse ε exactement sur [0, 1/n]. Sa mesure vaut 1/n.
2. Si ε ≥ 1, l’écart ne dépasse jamais ε, car il vaut seulement 0 ou 1. L’ensemble exceptionnel est vide et sa mesure vaut 0.
3. Dans les deux cas, la mesure tend vers zéro. Ainsi fn converge en mesure vers 0. Le contrôle est refaisable : pour ε = 1/2 et n = 100, la zone gênante mesure exactement 1/100. La hauteur reste pourtant égale à 1, donc la convergence n’est pas uniforme.
En pratique
En théorie de l’intégration, on l’emploie lorsqu’une suite d’approximations peut garder de forts écarts sur des ensembles dont la mesure s’évanouit. Si le maximum de l’erreur doit être contrôlé partout, la convergence uniforme est l’alternative adaptée.
Pour vérifier un candidat à la limite, on fixe ε, on localise la zone où l’erreur excède ε, puis on estime sa mesure. Une majoration qui tend vers zéro suffit, même si l’on ne calcule pas exactement cette zone.
En probabilités, le même geste consiste à mesurer la probabilité d’une erreur supérieure à ε. On parle alors de convergence en probabilité ; ce vocabulaire est préférable dès que la mesure totale vaut 1 et représente des probabilités.
À ne pas confondre
Convergence uniforme. Elle exige que le plus grand écart sur tout le domaine tende vers zéro. Dans l’exemple fn = 1 sur [0, 1/n], ce maximum reste égal à 1 : la convergence est en mesure, mais pas uniforme.
Convergence presque partout. Elle suit chaque point séparément, hors d’un ensemble négligeable. La convergence en mesure ne garantit pas que la suite entière converge point par point presque partout, même si l’on peut en extraire une sous-suite qui le fait.
Convergence dans Lp. Pour p ≥ 1, elle demande que l’intégrale de la puissance p de l’écart tende vers zéro. Sur un espace de mesure finie, cette condition entraîne la convergence en mesure, mais le critère intégral contient davantage d’information.
Limites et pièges
La tolérance doit rester fixée. Choisir ε en fonction de n peut masquer un écart persistant. Il faut établir la limite séparément pour chaque ε > 0 ; dans l’exemple, le cas charnière ε = 1 rend l’ensemble exceptionnel vide parce que le critère utilise un dépassement strict.
Une mesure infinie change certaines implications. Sur la droite entière, les indicatrices des intervalles [n, n + 1] convergent vers zéro en chaque point, mais la zone où l’écart vaut 1 garde une mesure égale à 1. La convergence presque partout n’y suffit donc pas pour conclure à la convergence en mesure.
La limite en mesure est unique seulement à égalité presque partout. Deux fonctions qui diffèrent uniquement sur un ensemble de mesure nulle sont indiscernables par ce critère. Il faut travailler avec leurs classes d’équivalence, ou préciser un représentant si des valeurs ponctuelles importent.
Pour aller plus loin
La convergence uniforme montre ce que change un contrôle du plus grand écart sur tout le domaine.
La convergence en probabilité reformule exactement le même critère lorsque la mesure est une probabilité.
La notion de presque partout précise pourquoi des valeurs exceptionnelles sur un ensemble de mesure nulle ne changent pas la limite.
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