méthode de la bosse glissante

Imaginez une bosse de largeur 1 et de hauteur 1 qui avance d’un cran à chaque étape sur une droite infinie. À un endroit fixé, elle finit par disparaître : la suite des hauteurs observées en ce point tend vers zéro. Pourtant, la bosse conserve toujours la même aire, égale à 1.

Ce décalage révèle l’idée essentielle : regarder séparément chaque point ne contrôle pas nécessairement la quantité totale portée par les fonctions.

La méthode de la bosse glissante construit une suite de fonctions dont la masse intégrale se déplace sans diminuer. Sur la droite réelle munie de la mesure de Lebesgue, soit f_n la fonction indicatrice de l’intervalle [n, n + 1] : elle vaut 1 sur cet intervalle et 0 ailleurs.

Pour tout réel x fixé, il existe un rang après lequel x n’appartient plus à [n, n + 1]. Ainsi, f_n(x) tend vers 0 en tout point. En revanche, l’intégrale de la valeur absolue de f_n, qui est sa norme dans L¹, reste égale à la longueur de l’intervalle : $\parallel f_n{\parallel }_1={\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{\mid }{f}_n(x)\mathrm{\mid }dx=1\backslash lVert\; f\_n\backslash rVert\_1=\backslash int\_\{\backslash mathbb\; R\}|f\_n(x)|\backslash ,dx=1$. La convergence ponctuelle, et donc presque partout, n’entraîne donc pas ici la convergence dans L¹.

Une variante conserve la même masse en concentrant le support près d’un point et en augmentant la hauteur. Dans les deux cas, la construction sert surtout à éprouver les hypothèses d’un théorème de convergence : une domination intégrable commune ou une autre condition de contrôle empêche précisément ce type de fuite de masse.

Pour tester si une convergence presque partout suffit à obtenir une convergence dans L¹, construisez des fonctions intégrables dont le support se déplace, vérifiez la limite en chaque point fixé, puis calculez leur norme L¹.

Si la limite ponctuelle est la fonction nulle mais que $\parallel f_n{\parallel }_1\backslash lVert\; f\_n\backslash rVert\_1$ ne tend pas vers 0, la suite constitue un contre-exemple. Le point d’arrêt est cette incompatibilité entre la limite locale et la masse globale.

La construction par translation s’applique sur un espace non borné tel que ℝ, avec des fonctions mesurables et intégrables. Il faut pouvoir déplacer un support de mesure positive vers l’infini, garder sa masse non nulle et constater qu’un point fixé n’appartient qu’à un nombre fini de supports.

Sur un domaine borné, une simple translation finit par sortir du domaine et ne conserve plus la même intégrale sur celui-ci. On emploie alors, si le problème s’y prête, une bosse qui se resserre autour d’un point tandis que sa hauteur augmente. À l’inverse, si toutes les fonctions sont dominées en valeur absolue par une même fonction intégrable et convergent presque partout, le théorème de convergence dominée donne la convergence dans L¹ : la bosse glissante de masse constante ne peut satisfaire ces hypothèses.

Sur ℝ, muni de la mesure de Lebesgue, on prend pour chaque entier positif n la fonction f_n qui vaut 1 sur [n, n + 1] et 0 ailleurs. Les données sont donc une hauteur égale à 1 et un support de longueur 1.

1. Fixons un réel x. Dès que n est strictement supérieur à x, le point x est hors de [n, n + 1], donc f_n(x) = 0.
2. La suite f_n(x) tend ainsi vers 0 pour tout x.
3. Pour chaque n, la norme L¹ est l’aire du rectangle : $\parallel f_n{\parallel }_1=1\times ((n+1)-n)=1\backslash lVert\; f\_n\backslash rVert\_1=1\backslash times((n+1)-n)=1$.
4. La distance L¹ entre f_n et la fonction nulle reste donc égale à 1.

La suite converge partout vers zéro, mais pas dans L¹. Le contrôle est immédiat : déplacer horizontalement un rectangle sans changer sa hauteur ni sa largeur conserve exactement son aire. La figure rend visible cette masse qui s’éloigne sans disparaître.

Face à une implication proposée entre deux modes de convergence, on cherche une quantité que l’un contrôle et que l’autre laisse s’échapper. Ici, la convergence point par point ignore que toute la masse se déplace vers des régions différentes.

Pour vérifier un théorème d’intégration, on tente ensuite de construire une bosse compatible avec les hypothèses. Si une domination intégrable commune est exigée, son absence observable signale pourquoi le contre-exemple ne réfute pas le théorème.

Lorsque le domaine ne permet pas de pousser le support vers l’infini, on préfère une concentration en un point. Le critère est géométrique : la largeur diminue tandis que la hauteur compense pour maintenir l’intégrale.

La convergence presque partout examine la suite séparément en presque chaque point. Pour f_n indicatrice de [n, n + 1], chaque point voit finalement zéro : ce mode de convergence est acquis.

La convergence dans L¹ mesure au contraire l’intégrale de l’écart absolu sur tout le domaine. Dans le même exemple, cet écart avec la fonction nulle vaut toujours 1 : la convergence dans L¹ échoue.

La convergence uniforme contrôle le plus grand écart ponctuel. Ici, la valeur maximale de f_n reste 1, donc elle échoue également, mais pour un critère différent de celui de L¹.

Une bosse dont le support s’éloigne n’est un contre-exemple que si sa masse ne tend pas vers zéro. Si sa hauteur vaut 1/n sur un intervalle de longueur 1, sa norme L¹ vaut 1/n et tend vers zéro : la convergence dans L¹ a alors lieu.

Le déplacement vers l’infini ne fonctionne pas tel quel sur tout espace mesuré. Sur [0, 1], l’intersection de [n, n + 1] avec le domaine est de mesure nulle dès n ≥ 1 ; il faut choisir une concentration interne et en vérifier séparément la limite presque partout.

Une intégrale non nulle n’implique pas toujours une norme L¹ non nulle de même taille lorsque les fonctions changent de signe, car les valeurs positives et négatives peuvent s’annuler. Le contrôle pertinent porte sur l’intégrale de la valeur absolue.

Enfin, une convergence presque partout autorise un ensemble exceptionnel de mesure nulle. Pour une bosse concentrée en un point, la valeur au point de concentration doit être examinée ; elle peut empêcher la convergence ponctuelle partout sans empêcher la convergence presque partout.

Le théorème de convergence dominée de Lebesgue précise la condition qui empêche une masse intégrale de s’échapper malgré la convergence presque partout.

Le lemme de Fatou relie les intégrales d’une suite de fonctions positives à celle de leur limite inférieure.

L’intégrale de Lebesgue fournit le cadre dans lequel se comparent convergence presque partout, intégrales et norme L¹.