lemme de Fatou

Imaginez une série de pics positifs, de plus en plus hauts et étroits, qui se déplacent vers le bord d'un intervalle. Chaque pic peut conserver la même aire, tandis que sa hauteur finit par devenir nulle en chaque point fixé. Le lemme de Fatou relie ces deux observations : l'aire qui demeure dans la limite ne peut pas dépasser la limite inférieure des aires successives, même si celles-ci ne convergent pas. Il fournit donc une garantie, même lorsque passer directement la limite sous le signe intégral serait injustifié.

Le lemme de Fatou est un résultat de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il s'applique à une suite de fonctions mesurables positives, notées f_n, définies sur un même espace mesuré X. La limite inférieure ponctuelle retient, en chaque point, la valeur la plus basse qui subsiste à long terme dans la suite.

Avec μ pour la mesure sur X, la comparaison s'écrit ${\int }_X{\mathrm{lim\hspace{0.17em}inf}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_{n}d\mu \le {\mathrm{lim\hspace{0.17em}inf}}_{n\to \mathrm{\infty }}{\int }_X{f}_{n}d\mu \backslash int\_X\; \backslash liminf\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; f\_n\; \backslash ,\; d\backslash mu\; \backslash leq\; \backslash liminf\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash int\_X\; f\_n\; \backslash ,\; d\backslash mu$. Le membre de gauche intègre ce qui reste ponctuellement à la limite. Le membre de droite observe d'abord chaque intégrale, puis en prend la limite inférieure.

Cette inégalité ne suppose ni que la suite converge de façon monotone, ni que les intégrales convergent. Elle peut prendre des valeurs infinies et elle n'affirme pas l'égalité. Aussi appelé théorème de Fatou–Lebesgue, ce résultat occupe une place intermédiaire entre le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée de Lebesgue.

Soit X un espace muni d'une mesure μ. Si chaque fonction f_n est mesurable, prend des valeurs positives ou nulles et appartient à une même suite indexée par les entiers positifs, alors :

La limite inférieure est calculée point par point avant l'intégration à gauche, mais après l'intégration à droite. L'ordre de ces deux opérations est précisément ce que compare le lemme.

Le domaine est celui de l'intégrale de Lebesgue sur un espace mesuré commun. Trois vérifications suffisent pour appliquer la forme usuelle du lemme : les fonctions f_n sont toutes définies sur ce même espace, chacune est mesurable et chacune est positive ou nulle. Les intégrales peuvent être infinies ; leur finitude n'est pas exigée.

La positivité est décisive. Sur l'intervalle [0, 1], la fonction égale à −n sur l'intervalle (0, 1/n] et à 0 ailleurs converge ponctuellement vers 0, tandis que chacune de ses intégrales vaut −1. La conclusion attendue donnerait alors 0 ≤ −1, ce qui est faux.

Si les fonctions changent de signe, il faut donc établir une hypothèse supplémentaire adaptée. Une domination intégrable permet par exemple de se tourner vers le théorème de convergence dominée de Lebesgue.

Sur l'intervalle [0, 1] muni de la mesure de longueur, considérons des pics rectangulaires. Pour chaque entier positif n, la fonction f_n vaut n sur l'intervalle (0, 1/n], et 0 ailleurs. Les données sont donc une hauteur n, une largeur 1/n et une aire égale à 1.

1. Fixons un point x strictement positif. Dès que n dépasse 1/x, le point x n'appartient plus à l'intervalle du pic, donc f_n(x) = 0.

2. Au point x = 0, les intervalles sont ouverts à gauche, donc f_n(0) = 0. La limite inférieure ponctuelle est ainsi la fonction nulle sur tout [0, 1]. Son intégrale vaut 0.

3. Pour chaque n, l'intégrale de f_n est l'aire du rectangle : $n\times \frac{1}{n}=1n\; \backslash times\; \backslash frac\{1\}\{n\}=1$. La limite inférieure de la suite des intégrales vaut donc 1.

4. Le lemme donne bien 0 ≤ 1. L'inégalité est stricte : les pics gardent tous une aire de 1, mais aucun pic ne subsiste en un point fixé.

Pour n = 2, 4 et 8, les largeurs 1/2, 1/4 et 1/8 associées aux hauteurs 2, 4 et 8 donnent toujours l'aire 1. Leur représentation rend visible la concentration des pics près de 0.

Lorsqu'une suite de fonctions positives converge sans être monotone, le lemme compare l'intégrale de sa limite inférieure à la limite inférieure de ses intégrales, sans supposer que ces dernières convergent. Le geste utile consiste à vérifier mesurabilité et positivité, puis à comparer ces deux quantités.

Dans une preuve de convergence d'intégrales, il sert souvent de première garantie lorsque l'égalité n'est pas encore acquise. Si la suite croît point par point, le théorème de convergence monotone est plus précis puisqu'il donne directement l'égalité attendue.

Si les fonctions ne sont pas positives, mais convergent presque partout et restent contrôlées en valeur absolue par une fonction intégrable, le théorème de convergence dominée devient l'outil naturel. Les critères observables sont alors cette convergence et l'existence d'un majorant intégrable commun.

Théorème de convergence monotone. Il demande que la suite soit croissante point par point et conclut à une égalité entre limite des intégrales et intégrale de la limite. Les pics de l'exemple ne sont pas croissants ; Fatou reste applicable, mais ne donne que 0 ≤ 1.

Théorème de convergence dominée de Lebesgue. Il repose sur une fonction intégrable qui domine toute la suite en valeur absolue et permet d'échanger limite et intégrale. Les pics de hauteur n n'admettent pas un tel majorant intégrable sur [0, 1], alors que le lemme de Fatou les traite.

Limite inférieure d'ensembles. Elle décrit les points appartenant finalement à tous les ensembles d'une suite. Le lemme de Fatou emploie ici la limite inférieure de valeurs de fonctions ; les deux constructions sont parentes, mais leurs objets ne sont pas les mêmes.

Fonctions de signe variable. Sans contrôle inférieur, l'inégalité peut échouer. Les pics négatifs de hauteur −n, portés par (0, 1/n], et de largeur 1/n ont une limite ponctuelle nulle mais une intégrale constante égale à −1. Il faut ajouter une hypothèse de contrôle ou employer un autre théorème.

Inégalité stricte. Fatou ne promet pas que l'intégrale de la limite inférieure égale la limite inférieure des intégrales. Dans l'exemple, ces quantités valent respectivement 0 et 1. Il ne faut donc pas remplacer ≤ par = sans argument supplémentaire.

Absence de convergence ordinaire. La notation lim inf ne suppose pas que f_n(x) possède une limite en chaque point. Elle retient le niveau inférieur persistant. Remplacer cette opération par une limite ordinaire exige d'abord de prouver que celle-ci existe.

Valeurs infinies. Les deux membres peuvent valoir +∞ dans l'intégrale de Lebesgue étendue. L'écriture +∞ ≤ +∞ est alors vraie mais n'apporte aucune borne finie ; une estimation distincte est nécessaire pour obtenir une information quantitative.

Théorème de convergence monotone — Pour voir quand la croissance point par point transforme la comparaison de Fatou en égalité.

Théorème de convergence dominée de Lebesgue — Pour savoir quand un majorant intégrable autorise l'échange entre limite et intégrale.

Limite inférieure (ensembles) — Pour rapprocher la persistance des points dans des ensembles de celle des valeurs dans une suite de fonctions.