Limite inférieure (ensembles)
La limite inférieure d'une suite d'ensembles (An) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à An pour tout n suffisamment grand, c'est-à-dire l'ensemble des éléments appartenant à presque tous les An. Elle se note liminf An et correspond à la réunion sur n des intersections des Am pour m supérieur ou égal à n. La limite inférieure est toujours incluse dans la limite supérieure de la suite d'ensembles. Ce concept est fondamental en théorie de la mesure et en probabilités.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter l'appartenance à presque tous les ensembles comme une présence à partir d'un certain rang.
- Calculer une limite inférieure avec la réunion des intersections de queues.
- Reproduire le test sur une suite alternée de quatre éléments.
- Distinguer limite inférieure, intersection totale et limite supérieure.
En clair
Imaginez que l'on relève, jour après jour, les personnes présentes dans une salle. Une personne appartient à la limite inférieure si, après une date assez tardive, elle est présente chaque jour. Elle peut avoir manqué quelques jours au début : cela ne change rien.
En revanche, revenir régulièrement ne suffit pas. Une personne présente seulement un jour sur deux apparaît encore une infinité de fois, mais elle n'est jamais installée durablement dans tous les relevés suivants.
Définition
Soit une suite d'ensembles A1, A2, A3, …, tous considérés dans un même ensemble de référence. Un élément x appartient à leur limite inférieure lorsqu'il existe un rang N tel que x appartienne à An pour chaque indice n supérieur ou égal à N. Autrement dit, x peut être absent un nombre fini de fois, mais plus jamais après un certain rang.
Pour chaque rang n, l'intersection de tous les ensembles à partir de An conserve les éléments qui ne disparaîtront plus. La réunion de ces intersections autorise le rang de stabilisation à dépendre de l'élément. Cette construction s'écrit :
La limite supérieure retient, elle, les éléments présents une infinité de fois. La limite inférieure est donc toujours incluse dans la limite supérieure. Lorsque les deux ensembles sont égaux, cette valeur commune est la limite de la suite d'ensembles.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans l'ensemble de référence {a, b, c, d}. Les données sont les suivantes : A1 = {a, c} ; pour tout indice pair n, An = {a, b, d} ; pour tout indice impair n supérieur ou égal à 3, An = {a, b, c}.
1. L'élément a appartient à chaque ensemble. Il satisfait donc la condition à partir du rang N = 1.
2. L'élément b manque seulement dans A1. À partir du rang N = 2, il appartient à tous les An.
3. L'élément c manque à chaque indice pair, tandis que d manque à chaque indice impair. Quel que soit le rang choisi, chacun connaîtra donc encore une absence.
Ainsi, la limite inférieure vaut {a, b}. Le contrôle consiste à choisir un rang : dès n = 2, a et b restent toujours présents, alors que c et d continuent d'alterner. Le diagramme de présence matérialise ce contrôle sans remplacer le raisonnement sur tous les indices.
En pratique
Pour tester l'appartenance d'un élément, on cherche un rang après lequel aucune absence ne se produit. Si l'on peut seulement exhiber une infinité de présences, il faut examiner la limite supérieure à la place.
Pour étudier la convergence d'une suite d'ensembles, on calcule ses limites inférieure et supérieure. Leur égalité signifie que chaque élément finit par avoir un statut stable : toujours dedans ou toujours dehors.
En probabilités, les ensembles peuvent être des événements. Leur limite inférieure décrit alors les issues pour lesquelles tous les événements se réalisent à partir d'un certain rang ; le simple fait qu'ils surviennent infiniment souvent relève de la limite supérieure.
À ne pas confondre
Avec l'intersection de tous les An. Cette intersection exige une présence dès le premier ensemble. Dans l'exemple, b appartient à la limite inférieure puisqu'il reste présent à partir de A2, mais il n'appartient pas à l'intersection totale puisqu'il manque dans A1.
Avec la limite inférieure d'une suite de nombres réels. Celle-ci est un nombre obtenu à partir des infimums des queues de la suite. Pour une suite d'ensembles, le résultat est un ensemble et le test porte sur l'appartenance éventuelle de chaque élément.
Limites et pièges
« Presque tous » ne signifie pas « une grande proportion ». Ici, cela veut dire « tous sauf un nombre fini d'indices ». Une absence survenant encore un indice sur mille empêche l'appartenance à la limite inférieure si ce rythme se poursuit indéfiniment.
Le rang n'est pas nécessairement commun à tous les éléments. Chaque élément de la limite inférieure peut avoir son propre rang de stabilisation. Il ne faut imposer un même rang à tout l'ensemble que si une propriété plus forte le justifie.
Des ensembles tous non vides peuvent avoir une limite inférieure vide. Pour An = {n}, chaque élément n'apparaît qu'une fois. Le bon diagnostic consiste à tester la persistance de chaque élément, pas la non-vacuité de chaque terme.
L'inclusion dans la limite supérieure peut être stricte. Dans l'exemple, c et d reviennent infiniment souvent sans devenir permanents : la limite supérieure vaut {a, b, c, d}, tandis que la limite inférieure vaut {a, b}.
Pour aller plus loin
Limite supérieure (ensembles) — Étudier les éléments qui reviennent infiniment souvent et caractériser la convergence lorsque les deux limites coïncident.
Borel-Cantelli (lemme de) — Relier la répétition d'événements à leur apparition infiniment fréquente dans un cadre probabiliste.
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