Limite supérieure (suites)

Imaginez une liste infinie d'ensembles qui se succèdent. Un élément entre dans la limite supérieure s'il réapparaît encore et encore, aussi loin que l'on poursuive la liste. Il peut manquer une fois sur deux, ou même devenir très rare : il suffit qu'il revienne une infinité de fois.

Pour le vérifier, on se place à un rang quelconque et on regarde tous les ensembles suivants. Si l'élément figure toujours dans au moins l'un d'eux, quelle que soit la position de départ, il appartient à la limite supérieure.

Soit une suite infinie d'ensembles notés A₁, A₂, A₃, etc., tous considérés dans un même ensemble de référence. Sa limite supérieure est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A_n pour une infinité d'indices n. Pour chaque rang n, la réunion de tous les A_m d'indice m ≥ n rassemble ce qui apparaît au moins une fois dans la queue de la suite. L'intersection de ces réunions conserve ce qui apparaît dans toutes les queues :

Cette définition n'exige ni convergence des ensembles, ni croissance, ni décroissance. Elle distingue une apparition répétée sans fin d'une apparition seulement finie. Un élément peut donc appartenir à la limite supérieure tout en étant absent d'une infinité de termes.

La limite inférieure retient au contraire les éléments présents dans tous les ensembles à partir d'un certain rang. Elle est toujours incluse dans la limite supérieure. Les deux limites sont égales exactement lorsque chaque élément finit par avoir un statut stable : toujours présent ou toujours absent.

Considérons trois éléments a, b et c. Pour tout entier n ≥ 1, posons A_n = {a, b} lorsque n est pair, et A_n = {b, c} lorsque n est impair. La suite commence donc par {b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, b}, puis répète cette alternance.

1. L'élément a appartient à tous les termes de rang pair. Il apparaît donc une infinité de fois.

2. L'élément b appartient à chaque A_n. L'élément c appartient à tous les termes de rang impair. Chacun apparaît donc une infinité de fois.

3. Toute queue de la suite contient encore un rang pair et un rang impair. Sa réunion vaut donc {a, b, c}, ce que la figure rend visible sur six termes avant la répétition. L'intersection de toutes ces réunions donne : ${\mathrm{lim\hspace{0.17em}sup}}_{n\to \mathrm{\infty }}{A}_n=\{a,b,c\}\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}A\_n=\backslash \{a,b,c\backslash \}$.

4. Pour contrôler la distinction, seul b est présent à partir de n'importe quel rang sans nouvelle absence. La limite inférieure vaut donc {b}, bien incluse dans {a, b, c}.

Pour une suite donnée par un motif périodique, relevez les éléments présents dans au moins une position du motif qui se répète. Ils forment la limite supérieure. Si le motif ne se répète pas exactement, revenez au critère des apparitions infinies plutôt que de prolonger visuellement les premiers termes.

Pour prouver qu'un élément appartient à la limite supérieure, montrez qu'après tout rang de départ il existe un terme ultérieur qui le contient. Pour prouver qu'il n'y appartient pas, trouvez un rang après lequel il ne réapparaît jamais.

En probabilités, lorsque les A_n sont des événements, leur limite supérieure décrit l'événement « une infinité des A_n se réalisent ». Les lemmes de Borel-Cantelli sont alors adaptés ; une simple addition de probabilités ne suffit pas toujours, car l'indépendance intervient dans le résultat qui conclut à une probabilité égale à 1.

Limite supérieure et réunion de tous les termes. La réunion retient un élément apparu au moins une fois ; la limite supérieure exige une infinité d'apparitions. Si d appartient seulement à A₁, il appartient à la réunion, mais pas à la limite supérieure.

Limite supérieure et limite inférieure. La première demande des retours infiniment nombreux ; la seconde demande une présence définitive à partir d'un certain rang. Dans l'alternance de l'exemple, a et c sont dans la limite supérieure seulement, tandis que b appartient aux deux.

Limite supérieure d'ensembles et limite supérieure numérique. Pour une suite de nombres, la limite supérieure est une valeur asymptotique, non un ensemble d'éléments récurrents. Par exemple, la suite de terme (−1)ⁿ a pour limite supérieure 1 ; ce calcul relève d'une autre définition.

Fréquence nulle, mais infinité d'apparitions. Un élément présent seulement dans A₁, A₂, A₄, A₈, etc. appartient encore à la limite supérieure. Ses apparitions se raréfient, mais aucun rang ne précède sa dernière apparition. Il faut tester l'infinité, pas une proportion positive.

Suite finie. La définition porte sur une suite infinie. Une liste arrêtée à A_N ne permet pas de parler d'apparitions infiniment nombreuses sans convention supplémentaire ; il faut soit préciser un prolongement, soit se limiter aux réunions et intersections finies.

Borel-Cantelli sans hypothèses suffisantes. Si la somme des probabilités des événements A_n est finie, leur limite supérieure a une probabilité nulle. La réciproque vers une probabilité égale à 1, lorsque cette somme diverge, exige notamment l'indépendance des événements dans la forme classique du second lemme. Sans elle, cherchez un résultat adapté à la dépendance.

Égalité des deux limites. Une alternance persistante peut empêcher la suite d'ensembles d'avoir une limite, même si ses limites supérieure et inférieure existent. Dans l'exemple, {a, b, c} et {b} diffèrent : a et c ne stabilisent jamais leur appartenance.

Limite inférieure (ensembles) — Étudier la présence définitive et le critère d'égalité qui traduit la stabilisation de la suite d'ensembles.

Borel-Cantelli (lemme de) — Préciser les conditions probabilistes qui rendent les réalisations infiniment nombreuses presque impossibles ou presque sûres.