Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Singe savant
Le théorème du singe savant (ou théorème des singes dactylographes) est un résultat probabiliste affirmant que si un singe frappe au hasard et indéfiniment sur un clavier, il finira presque sûrement par reproduire n'importe quel texte fini donné, y compris l'oeuvre complète de Shakespeare. Mathématiquement, cela découle du second lemme de Borel-Cantelli : si on répète indéfiniment et indépendamment un essai ayant une probabilité strictement positive de succès, le succès se produira presque sûrement au bout d'un nombre fini (mais potentiellement très grand) d'essais.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la répétition d'essais indépendants à une probabilité qui tend vers 1.
- Calculer la probabilité de produire SAGE avec un clavier-jouet de quatre touches.
- Distinguer un événement presque sûr d'un événement certain.
- Repérer les limites dues à une touche impossible, à la dépendance et à un horizon fini.
- Relier le théorème au lemme de Borel-Cantelli et le distinguer d'un nombre univers.
En clair
Imaginez un clavier réduit aux quatre touches S, A, G et E. À chaque frappe, une touche est choisie au hasard, indépendamment des précédentes et avec la même probabilité pour chacune des quatre touches. Obtenir SAGE du premier coup est rare : une seule suite convient parmi 256 suites de quatre lettres équiprobables.
En recommençant avec de nouveaux groupes indépendants de quatre frappes, les occasions s'accumulent. La probabilité de ne jamais voir SAGE diminue et tend vers zéro. Le mot apparaîtra donc presque sûrement si l'expérience continue indéfiniment. Cela ne fixe aucune date d'apparition et ne transforme pas un essai isolé en succès probable.
Définition
Le théorème du singe savant, aussi appelé théorème des singes dactylographes, concerne un texte cible fini et une suite illimitée de frappes aléatoires. Chaque caractère requis doit avoir une probabilité strictement positive d'être frappé. Sous un modèle où les frappes sont indépendantes et suivent toujours la même loi, tout texte fini donné apparaît presque sûrement, même s'il est aussi long que l'œuvre complète de Shakespeare.
Pour le formuler sur des essais indépendants, on découpe la suite en blocs ayant la longueur du texte. La lettre p désigne la probabilité, strictement positive, qu'un bloc reproduise exactement la cible. Après un nombre n de blocs, la probabilité d'au moins un succès vaut . Quand n augmente sans borne, cette probabilité tend vers 1. Le lemme de Borel-Cantelli exprime cette accumulation d'occasions de probabilité positive.
« Presque sûrement » signifie ici « avec une probabilité égale à 1 ». Ce n'est pas une garantie logique pour chaque suite imaginable : lorsqu'il existe des suites qui évitent toujours le texte, leur ensemble a une probabilité nulle dans ce modèle. Le temps d'attente est fini presque sûrement, tout en pouvant être démesurément grand pour un texte long.
Un exemple, pas à pas
Un clavier-jouet possède quatre touches équiprobables : S, A, G et E. Les frappes sont indépendantes. La cible est le mot SAGE, long de quatre caractères. On observe des blocs successifs de quatre frappes, sans chevauchement.
1. Un bloc possède 4 × 4 × 4 × 4 = 256 résultats possibles.
2. Un seul résultat est SAGE, donc la probabilité de succès d'un bloc est p = 1/256.
3. La probabilité d'échouer pendant 256 blocs est (255/256)256 ≈ 0,3672.
4. La probabilité d'obtenir SAGE au moins une fois est donc 1 − (255/256)256 ≈ 0,6328, soit 63,28 %.
2. Un seul résultat est SAGE, donc la probabilité de succès d'un bloc est p = 1/256.
3. La probabilité d'échouer pendant 256 blocs est (255/256)256 ≈ 0,3672.
4. La probabilité d'obtenir SAGE au moins une fois est donc 1 − (255/256)256 ≈ 0,6328, soit 63,28 %.
Après 1 178 blocs, cette probabilité atteint environ 99,01 %. Le contrôle consiste à calculer le complément : (255/256)1 178 ≈ 0,009946, soit moins de 1 % d'échec. Même 99,01 % ne signifie pas que le mot est certain d'être déjà apparu. La courbe associée montre une probabilité qui se rapproche de 100 % sans l'atteindre après un nombre fini de blocs.
En pratique
Pour estimer l'attente avant un motif court, on calcule d'abord la probabilité d'un essai. Le calcul exact convient lorsque les essais sont indépendants et peu nombreux ; une simulation devient utile pour visualiser la variabilité des temps d'attente.
Pour interpréter une simulation, on sépare deux questions : le motif finira-t-il par apparaître, et l'a-t-on vu avant une limite choisie ? Le théorème répond à la première sur un horizon infini ; une probabilité calculée pour n essais répond à la seconde.
Pour examiner un générateur aléatoire réel, on vérifie si chaque symbole nécessaire peut sortir et si les essais sont suffisamment indépendants. Si une touche requise a une probabilité nulle, le théorème ne s'applique pas ; il faut alors modifier le modèle ou le générateur.
À ne pas confondre
Événement presque sûr et événement certain. Un événement certain se produit pour chaque issue admise par le modèle. Un événement presque sûr peut avoir des exceptions, mais celles-ci forment un ensemble de probabilité nulle. Une suite infinie évitant toujours SAGE tranche le cas : elle est possible comme suite, mais de probabilité nulle dans le modèle indépendant.
Théorème du singe savant et nombre univers. Le théorème décrit le résultat presque sûr d'une production aléatoire infinie. Un nombre univers possède, dans son écriture, tous les blocs finis possibles. Le critère qui sépare les notions est donc le point de vue : processus probabiliste d'un côté, propriété d'une suite de chiffres fixée de l'autre.
Limites et pièges
Une touche impossible. Si la probabilité de la lettre G vaut 0, celle du mot SAGE vaut aussi 0. Répéter l'expérience ne répare pas ce blocage : il faut employer un générateur où chaque caractère de la cible a une probabilité strictement positive.
Des essais dépendants. La formule 1 − (1 − p)n suppose les blocs indépendants et une même probabilité p. Si le générateur garde une mémoire, le symptôme est que connaître un bloc change la loi du suivant. Il faut alors étudier les probabilités conditionnelles au lieu de réutiliser cette formule.
Un horizon fini. Après 256 blocs du clavier-jouet, le succès ne vaut qu'environ 63,28 %, et non 100 %. Même après 1 178 blocs, il reste environ 0,99 % d'échec. Pour une durée imposée, il faut annoncer cette probabilité finie plutôt que conclure par le théorème asymptotique.
Un texte très long. La probabilité d'un bloc exact décroît rapidement avec sa longueur. Le temps d'attente peut donc dépasser toute échelle pratique, même si le succès survient en un temps fini presque sûrement. Le théorème établit une propriété limite, pas une méthode réaliste de copie.
Pour aller plus loin
Borel-Cantelli (lemme de) — Situer précisément le résultat qui relie la répétition d'événements à leur occurrence presque sûre.
nombre univers — Comparer le processus aléatoire avec la propriété déterministe d'une écriture contenant tous les blocs finis.
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