Limite supérieure (ensembles)

Imaginez une liste infinie d'ensembles et suivez un élément donné. Il peut disparaître pour toujours, revenir seulement quelques fois ou réapparaître sans fin. La limite supérieure rassemble précisément les éléments qui reviennent sans fin, même s'ils sont absents entre deux apparitions.

Dans la suite alternée {1}, {0}, {1}, {0}, …, les nombres 0 et 1 reviennent chacun une infinité de fois. Ils appartiennent donc tous les deux à la limite supérieure.

Soit une suite d'ensembles notés A₁, A₂, A₃, …, tous considérés dans un même ensemble de référence. Sa limite supérieure, notée ${\mathrm{lim\hspace{0.17em}sup}}_{n\to \mathrm{\infty }}{A}_n\backslash limsup\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; A\_n$, contient exactement les éléments qui appartiennent à A_n pour une infinité d'indices n. Un élément peut donc en sortir puis y revenir autant de fois que l'on veut.

Pour chaque rang n, on réunit tous les ensembles à partir de ce rang. On intersecte ensuite toutes ces réunions : La réunion située après le rang n retient les éléments qui réapparaissent au moins une fois dans la suite restante. L'intersection exige que cette réapparition soit possible après tout rang, ce qui équivaut à une infinité d'appartenances. La limite inférieure, formée des éléments présents à partir d'un certain rang sans nouvelle absence, est toujours incluse dans la limite supérieure.

Considérons la suite d'ensembles indexée par les entiers n à partir de 1.
Données : si n est impair, A_n = {1} ; si n est pair, A_n = {0}. Les premiers termes sont donc {1}, {0}, {1}, {0}, …

1. Suivons le nombre 0. Il appartient à A₂, A₄, A₆, puis à tous les ensembles d'indice pair. Il apparaît une infinité de fois.

2. Suivons le nombre 1. Il appartient à tous les ensembles d'indice impair. Lui aussi apparaît une infinité de fois.

3. Aucun autre élément n'apparaît dans un terme. La limite supérieure vaut donc {0, 1}.

4. Pour contrôler le résultat, coupons la suite après n'importe quel rang. La partie restante contient encore un indice pair et un indice impair, donc encore 0 et 1. En revanche, aucun des deux nombres n'est présent à partir d'un certain rang dans tous les termes : la limite inférieure est vide.

Pour étudier une suite d'ensembles, on suit un élément et on demande s'il peut encore réapparaître après n'importe quel rang. Si oui, il appartient à la limite supérieure. S'il doit au contraire rester présent sans interruption, la limite inférieure est l'outil adapté.

En probabilités, les ensembles sont souvent des événements A_n. Leur limite supérieure décrit l'événement « A_n se produit une infinité de fois ». On peut alors employer le lemme de Borel-Cantelli, à condition de vérifier la somme des probabilités et, pour sa seconde implication, l'indépendance des événements.

Quand les ensembles sont emboîtés, un calcul direct est souvent plus court. Pour une suite croissante, la limite supérieure est la réunion de tous les termes ; pour une suite décroissante, elle est leur intersection.

Limite inférieure d'une suite d'ensembles. Elle exige qu'un élément appartienne à tous les termes à partir d'un certain rang, tandis que la limite supérieure exige seulement une infinité d'apparitions. Dans la suite {1}, {0}, {1}, {0}, …, la limite inférieure est vide et la limite supérieure vaut {0, 1}.

Limite supérieure d'une suite de nombres réels. Elle est la plus grande valeur d'adhérence, dans le cadre usuel d'une suite réelle bornée. Ici, les objets étudiés sont des ensembles et le critère porte sur l'appartenance répétée. Une suite de nombres et une suite d'ensembles n'emploient donc pas la même construction.

Beaucoup d'apparitions ne suffisent pas. Un élément présent dans les mille premiers ensembles, puis absent pour toujours, n'appartient pas à la limite supérieure. Après le rang 1000, aucune réapparition n'est possible ; il faut tester tous les rangs, pas seulement un long début de suite.

L'oscillation n'empêche pas l'appartenance. Un élément peut être absent une infinité de fois et appartenir malgré tout à la limite supérieure. Dans l'exemple alterné, 0 et 1 ont ce comportement. Une présence définitive caractériserait plutôt la limite inférieure.

Les deux conclusions de Borel-Cantelli ont des hypothèses différentes. Si la somme des probabilités des événements A_n est finie, la probabilité de leur limite supérieure vaut 0. Si cette somme diverge et que les événements sont indépendants, cette probabilité vaut 1. Sans l'indépendance, la seconde conclusion peut échouer.

La limite supérieure n'est pas forcément un terme de la suite. Dans l'alternance {1}, {0}, {1}, {0}, …, elle vaut {0, 1}, ensemble qui n'apparaît jamais parmi les A_n. Il faut appliquer le critère des apparitions infinies plutôt que chercher un terme final.

La Limite inférieure (ensembles) précise le critère complémentaire : être présent dans tous les ensembles à partir d'un certain rang.

Le Borel-Cantelli (lemme de) relie la fréquence infinie d'événements à la convergence d'une somme de probabilités et, dans un sens, à leur indépendance.