théorème de convergence monotone

Imaginez des surfaces colorées qui ne font que s’agrandir. À chaque étape, la nouvelle surface recouvre toute la précédente. L’aire augmente donc elle aussi, éventuellement sans borne.

Le théorème de convergence monotone affirme que l’on peut soit attendre la forme limite puis mesurer son aire, soit mesurer chaque étape puis passer à la limite. Les deux démarches donnent la même valeur, même lorsque cette valeur est infinie.

Le théorème de convergence monotone, aussi appelé théorème de Beppo-Levi, porte sur une suite de fonctions définies sur un espace mesuré. Pour chaque entier n, la fonction f_n doit être mesurable et prendre des valeurs positives ou nulles. La suite est croissante lorsque, en chaque point, f_n ≤ f_n+1.

La fonction f désigne la limite presque partout des fonctions f_n. Elle est mesurable. Le théorème autorise alors l’interversion entre la limite et l’intégrale : $\int fd\mu ={\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}\int f_{n}d\mu \backslash int\; f\backslash ,d\backslash mu=\backslash lim\_\{n\backslash to+\backslash infty\}\backslash int\; f\_n\backslash ,d\backslash mu$, où μ désigne la mesure utilisée.

Toutes ces intégrales sont prises au sens de Lebesgue et peuvent valoir +∞. La conclusion n’exige donc ni intégrabilité préalable de f, ni fonction intégrable qui domine toute la suite. C’est la croissance point par point, associée à la positivité, qui commande le passage à la limite.

Soit (f_n) une suite de fonctions mesurables positives sur un même espace mesuré. Si f_n ≤ f_n+1 presque partout pour tout entier n et si f est leur limite presque partout, alors f est mesurable et :

L’égalité reste valable dans les réels étendus : son membre commun peut être +∞.

Le cadre est celui d’un espace mesuré commun à toutes les fonctions. Trois contrôles suffisent : chaque f_n est mesurable ; chaque f_n est positive ou nulle ; et l’inégalité f_n ≤ f_n+1 vaut presque partout. La limite f existe alors presque partout dans les réels étendus.

Aucune borne intégrable commune n’est demandée. Les intégrales peuvent croître vers +∞, sans invalider le résultat.

Si la suite oscille au lieu de croître, le théorème ne s’applique pas. Par exemple, alterner entre les fonctions constantes 0 et 1 bloque même l’existence d’une limite. Une domination intégrable et une convergence presque partout orientent plutôt vers le théorème de convergence dominée.

Sur l’intervalle [0, 1], muni de sa mesure de longueur, la fonction f_n vaut 1 sur [1/n, 1] et 0 ailleurs. Les données sont donc l’entier n ≥ 1, le seuil 1/n et une hauteur égale à 1.

1. Quand n augmente, le seuil 1/n se déplace vers 0. L’intervalle où f_n vaut 1 s’agrandit : la suite est croissante.
2. Pour tout nombre x strictement positif, f_n(x) finit par valoir 1. La limite f vaut donc 1 sur ]0, 1] et 0 au point 0.
3. L’intégrale de f_n est la longueur de [1/n, 1], soit 1 − 1/n.
4. Lorsque n tend vers l’infini, 1 − 1/n tend vers 1. L’intégrale de f vaut également 1, car le seul point 0 a une mesure nulle.

La figure met en regard les seuils 1/2 et 1/4 avec la fonction limite. Le contrôle est direct : les aires valent respectivement 1/2, 3/4 et 1. Elles augmentent bien vers l’aire de la limite.

Pour calculer l’intégrale d’une fonction positive compliquée, on peut la construire comme limite croissante de fonctions mesurables plus simples. On intègre alors les approximations, puis on prend la limite de leurs intégrales.

Devant une suite de fonctions, le premier réflexe consiste à vérifier le sens des inégalités. Si chaque nouvelle fonction reste au-dessus de la précédente et si toutes sont positives, Beppo-Levi est le résultat naturel, même sans majorant intégrable.

Si les fonctions montent et descendent mais restent dominées par une même fonction intégrable, le critère observable change : le théorème de convergence dominée devient l’alternative adaptée.

Avec le théorème de convergence dominée. Celui-ci demande une fonction intégrable qui majore en valeur absolue tous les termes, mais ne demande pas que la suite soit croissante. Une suite oscillante et dominée peut relever de ce théorème, pas de Beppo-Levi.

Avec le lemme de Fatou. Pour une suite positive quelconque, le lemme donne une inégalité portant sur la limite inférieure. La croissance transforme cette comparaison en l’égalité exacte du théorème de convergence monotone.

Une limite infinie n’est pas un échec. Si les intégrales augmentent sans borne, le symptôme est une limite égale à +∞. Il faut conserver cette valeur dans les réels étendus, et non conclure que l’interversion est interdite.

La croissance se vérifie presque partout. Des exceptions sur un ensemble de mesure nulle ne changent ni les intégrales ni la conclusion. En revanche, une baisse sur un ensemble de mesure positive fait perdre l’hypothèse de monotonie.

La positivité est structurelle. Soustraire des masses négatives variables peut masquer des compensations et rendre le passage à la limite faux. Il faut alors chercher des hypothèses supplémentaires, notamment une domination intégrable, plutôt que citer Beppo-Levi.

L’intégrale de Lebesgue replace l’égalité du théorème dans le cadre où les fonctions positives et leurs limites sont intégrées.

Le lemme de Fatou montre l’inégalité disponible lorsque la suite positive n’est plus supposée croissante.

Le théorème de convergence dominée de Lebesgue fournit une autre voie d’interversion, fondée sur une domination intégrable plutôt que sur la monotonie.