théorème d'Egorov

Imaginez une suite de courbes qui se rapproche d’une courbe limite point par point. Près de quelques points, ce rapprochement peut rester très lent, même lorsque le reste du domaine est déjà bien stabilisé.

Sur un espace de mesure finie, le théorème d’Egorov autorise à isoler une zone aussi petite que souhaité. Hors de cette zone, un même rang convient alors simultanément à tous les points : la convergence devient uniforme. La zone retirée peut changer avec la taille maximale que l’on accepte de lui donner.

Le théorème d’Egorov transforme une convergence presque partout en convergence uniforme après retrait d’un ensemble de mesure arbitrairement petite. Il s’applique à un espace mesuré, noté E et muni d’une tribu Σ ainsi que d’une mesure μ, lorsque la mesure totale μ(E) est finie. Il concerne une suite de fonctions mesurables réelles f_n et une fonction mesurable réelle f.

Supposons que f_n(x) tende vers f(x) pour μ-presque tout point x de E. Pour chaque nombre ε strictement positif, on peut choisir un ensemble mesurable A dont la mesure est strictement inférieure à ε. Sur E privé de A, la convergence est uniforme : pour toute tolérance η strictement positive, un même rang N fonctionne pour tous les points restants.Cette conclusion se nomme aussi convergence presque uniforme. Elle ne signifie pas nécessairement que la convergence est uniforme sur E tout entier.

Soit un espace mesuré (E, Σ, μ) de mesure totale finie. Si une suite de fonctions mesurables réelles f_n converge vers une fonction mesurable réelle f pour μ-presque tout point de E, alors, pour tout nombre ε strictement positif, il existe un ensemble A appartenant à Σ tel que :L’ensemble exceptionnel peut donc être rendu arbitrairement petit en mesure, mais il dépend en général du choix de ε.

Trois vérifications précèdent l’application. L’espace E doit avoir une mesure totale finie. Les fonctions f_n et leur limite f doivent être mesurables et à valeurs réelles. Enfin, la convergence vers f doit avoir lieu presque partout, c’est-à-dire qu’elle peut échouer seulement sur un ensemble de mesure nulle.

La finitude de la mesure n’est pas décorative. Sur la droite réelle munie de la mesure de Lebesgue, les fonctions indicatrices des intervalles [n, n + 1] convergent simplement vers 0. Pourtant, retirer un ensemble de mesure inférieure à 1 ne suffit pas à obtenir la convergence uniforme : chaque intervalle de longueur 1 conserve un point où la fonction vaut 1. Dans un espace de mesure infinie, on peut plutôt appliquer le théorème sur des sous-ensembles de mesure finie, si le problème s’y prête.

Sur l’intervalle E = [0, 1] muni de la mesure de Lebesgue, considérons f_n(x) = xⁿ. La limite f vaut 0 pour 0 ≤ x < 1 et vaut 1 en x = 1. La convergence est donc simple partout, mais elle n’est pas uniforme sur E : juste avant 1, xⁿ reste aussi proche de 1 que l’on veut. Pour chaque rang fixé, un point inférieur à 1 peut être choisi assez près de 1 pour que l’erreur dépasse une tolérance donnée. Le schéma matérialise la petite zone où se concentre ce défaut d’uniformité.

1. Fixons ε = 0,1 et retirons l’ensemble A = (0,95; 1). Sa mesure vaut 0,05, donc μ(A) < ε.
2. Le complémentaire est [0; 0,95] ∪ {1}. Au point 1, l’erreur est nulle puisque f_n(1) = f(1) = 1.
3. Sur [0; 0,95], l’erreur maximale vaut 0,95ⁿ.
4. Pour une tolérance η = 0,01, le rang N = 90 convient, car 0,95⁹⁰ ≈ 0,00989 < 0,01.
5. Pour tout n ≥ 90 et tout x hors de A, |f_n(x) − f(x)| < 0,01. Le même rang contrôle ainsi tous les points conservés, ce qui vérifie l’uniformité.

Dans une démonstration, Egorov sert lorsque la convergence point par point est acquise, mais qu’une estimation commune à presque tout le domaine devient nécessaire. Le geste consiste à fixer la mesure exceptionnelle tolérée, puis à travailler uniformément sur le complémentaire.

Pour contrôler une approximation, on choisit d’abord une tolérance sur les valeurs et une taille maximale pour la zone écartée. Si le domaine entier doit impérativement être conservé, le théorème ne suffit pas : il faut établir directement une convergence uniforme.

Sur un domaine de mesure infinie, le bon réflexe est de rechercher une localisation de mesure finie. Si aucune localisation ne répond au problème, il faut employer un autre argument de convergence plutôt que d’invoquer Egorov.

Convergence simple. Pour chaque point x et chaque tolérance, le rang nécessaire peut dépendre de x. Dans l’exemple xⁿ, les points proches de 1 demandent des rangs de plus en plus grands.

Convergence uniforme. Un même rang convient à tous les points du domaine. Egorov ne l’affirme pas forcément sur E, mais sur E privé d’un ensemble de mesure aussi petite que souhaité.

Convergence presque partout. Cette expression concerne les points où la limite existe. La convergence presque uniforme concerne, elle, l’existence d’un contrôle uniforme après retrait d’une petite zone ; les deux critères ne disent pas la même chose.

Mesure totale infinie. Le théorème ne s’applique pas directement. Le symptôme est l’impossibilité de borner μ(E), comme sur toute la droite réelle. Il faut se restreindre à des ensembles de mesure finie ou choisir un autre résultat.

Ensemble exceptionnel variable. Pour chaque ε > 0, le théorème fournit un ensemble A de mesure inférieure à ε. Rien dans l’énoncé n’impose qu’un même A convienne à toutes les valeurs de ε ; il faut refaire le choix lorsque le seuil change.

Aucune vitesse fournie. Egorov garantit l’existence d’un rang uniforme sur le complémentaire, sans en donner la valeur. Dans l’exemple, N = 90 résulte du calcul sur xⁿ, pas du théorème seul.

Retrait petit, pas forcément vide. Une mesure arbitrairement petite ne signifie pas une mesure égale à zéro. Pour conclure à l’uniformité sur E tout entier, il faut une preuve supplémentaire qui contrôle aussi la zone retirée.

Convergence simple. Préciser le point de départ d’Egorov et la dépendance du rang envers le point considéré.

convergence uniforme. Approfondir le contrôle commun obtenu après retrait de l’ensemble exceptionnel.

Presque partout. Comprendre précisément le rôle des ensembles de mesure nulle dans l’hypothèse.

fonction mesurable. Revoir la propriété exigée de la suite et de sa limite.