AnalyseObjet mathématique · Glossaire
série de fonctions continues
Une série de fonctions continues est une série de fonctions dont chacun des termes fₙ est une fonction continue sur l'ensemble de définition considéré. La continuité des termes ne suffit pas à assurer la continuité de la somme : en cas de convergence simple seulement, la fonction somme peut être discontinue. En revanche, si la série converge uniformément sur un intervalle, la somme est alors continue sur cet intervalle. Ce résultat constitue l'un des théorèmes fondamentaux de l'analyse concernant les séries de fonctions.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer convergence simple et convergence uniforme d'une série de fonctions.
- Relier le contrôle uniforme du reste à la continuité de la fonction somme.
- Calculer la somme géométrique sur [0, 1/2] et vérifier l'erreur exacte au rang 5.
- Refaire un contre-exemple où des termes continus donnent une somme discontinue.
- Repérer comment le choix du domaine modifie le mode de convergence.
En clair
Pour chaque nombre x entre 0 et 1/2, additionnons 1, puis x, puis x2, et ainsi de suite. Chaque morceau est une fonction continue : une petite variation de x ne provoque aucun saut. La question est de savoir si la somme infinie garde cette continuité.
Il faut contrôler toutes les valeurs de l'intervalle en même temps. Quand l'erreur restante devient uniformément petite, la somme ne peut pas faire apparaître une rupture cachée. Un contrôle séparé pour chaque x, appelé convergence simple, ne donne pas cette garantie.
Définition
Soit I un intervalle. Une série de fonctions continues sur I est une expression dont le terme d'indice n est une fonction fn continue sur I. Pour un entier N, sa somme partielle SN additionne les termes d'indice 0 à N : . La série converge simplement vers une fonction S si, pour chaque x fixé dans I, les nombres SN(x) tendent vers S(x).
La convergence est uniforme lorsque le même rang convient pour tous les x. Plus précisément, pour tout nombre ε strictement positif, il existe un entier N0 tel que, pour tout N au moins égal à N0 et tout x de I, on ait : . Autrement dit, la borne supérieure des erreurs sur I tend vers zéro.
Si chaque fn est continue sur I et si la série converge uniformément sur I, alors sa somme S est continue sur I. La continuité terme par terme ne suffit donc pas : sans convergence uniforme, il faut étudier la somme par un autre argument. La convergence uniforme est une condition suffisante pour transmettre la continuité, mais elle n'est pas nécessaire dans tous les exemples.
De quoi c'est fait
La structure met en jeu cinq éléments. L'intervalle I est le domaine commun. Les fonctions continues f0, f1, … sont les termes de la série. La somme partielle SN est une fonction continue, car elle n'additionne qu'un nombre fini de termes. La fonction S est la limite éventuelle de ces sommes partielles. Enfin, le reste S − SN mesure l'erreur après la troncature au rang N.
Les termes déterminent les sommes partielles, puis la manière dont celles-ci approchent S détermine la régularité transmissible. Un contrôle uniforme du reste relie directement la continuité de chaque SN à celle de S. À l'inverse, une convergence vérifiée point par point laisse le rang nécessaire dépendre de x et peut concentrer une variation près d'un point.
Ce sont le domaine commun, les termes et leur mode de convergence qui définissent l'objet mathématique. La couleur d'une courbe, l'échelle d'un dessin ou le choix de quelques sommes partielles ne changent pas la série. Ces données permettent de calculer une approximation et de borner son erreur.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'intervalle I = [0, 1/2]. Pour chaque entier n ≥ 0, le terme fn est défini par fn(x) = xn. Les données sont donc un domaine fermé, des puissances continues et une somme partielle arrêtée au rang N.
1. Additionnons les termes jusqu'au rang N. Pour x différent de 1, la somme géométrique vaut : .
2. Faisons tendre N vers l'infini. Comme 0 ≤ x ≤ 1/2, la puissance xN+1 tend vers zéro et la fonction somme est S(x) = 1/(1 − x).
3. Contrôlons le reste sur tout l'intervalle : . La borne ne dépend pas de x et tend vers zéro ; la convergence est uniforme.
4. Au rang N = 5 et pour x = 1/2, on obtient S5(1/2) = 63/32 = 1,96875, tandis que S(1/2) = 2. L'erreur vaut 1/32 = 0,03125, exactement égale à la borne 2−5. Ce contrôle confirme le calcul.
En pratique
Pour prouver que la somme d'une série est continue, on cherche une convergence uniforme sur le domaine étudié. Si l'on ne dispose que d'une convergence simple, il faut examiner directement la fonction somme ou restreindre le domaine.
Pour calculer une valeur approchée, on remplace la série par SN et l'on borne le reste. Dans l'exemple sur [0, 1/2], choisir N tel que 2−N soit inférieur à la précision voulue garantit cette précision pour chaque x de l'intervalle.
Pour étudier la série sur un domaine plus grand, on vérifie si la même borne reste valable. La série géométrique converge uniformément sur [0, a] dès que 0 ≤ a < 1, mais pas sur tout [0, 1). Des sous-intervalles fermés constituent alors le cadre adapté.
À ne pas confondre
Série de fonctions et suite de fonctions. Une suite énumère f0, f1, … ; une série additionne ces fonctions et étudie les sommes partielles SN. Le critère testable est donc la présence d'une addition cumulée.
Convergence uniforme et continuité uniforme. La première compare simultanément SN à S pour tous les points. La seconde compare S(x) à S(y) lorsque x et y sont proches. Une série peut converger uniformément vers une fonction qui n'est pas uniformément continue sur un domaine non compact.
Convergence normale et convergence uniforme. La convergence normale contrôle la série des bornes supérieures des valeurs absolues des termes. Elle entraîne la convergence uniforme, mais le contrôle demandé est plus fort. Pour les distinguer, on regarde si l'on majore chaque terme séparément avant de sommer.
Limites et pièges
La convergence simple peut produire un saut. Sur [0, 1], posons f0(x) = 1 puis fn(x) = xn − xn−1 pour n ≥ 1. Chaque terme est continu et SN(x) = xN. La limite vaut 0 sur [0, 1) et 1 en x = 1 : elle est discontinue. Il faut donc renoncer à conclure par la seule continuité des termes.
Le domaine change le verdict. La série des xn converge uniformément sur [0, 1/2], et plus généralement sur [0, a] pour a < 1. Sur [0, 1), elle converge seulement point par point, car le reste devient arbitrairement grand quand x approche 1. Sa somme 1/(1 − x) y reste pourtant continue : l'uniformité est suffisante, non nécessaire.
La continuité ne transmet pas automatiquement toutes les opérations. Une convergence uniforme permet aussi de passer à la limite sous une intégrale sur un segment. Pour dériver la somme terme à terme, elle ne suffit pas à elle seule : il faut des hypothèses supplémentaires portant notamment sur les dérivées.
Pour aller plus loin
série de fonctions — Replacer les sommes partielles et la fonction somme dans le cadre général des séries dont les termes dépendent d'une variable.
convergence uniforme — Approfondir le contrôle simultané de l'erreur qui transmet la continuité à la fonction limite.
Convergence simple — Étudier le mode de convergence point par point et comprendre précisément ce qu'il ne garantit pas.
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