Admissible (paramétrage)

Imaginez un point qui trace une courbe pendant que le paramètre joue le rôle d'une horloge. À chaque instant, sa dérivée donne une direction et une vitesse. Le paramétrage est admissible lorsque ce vecteur ne devient jamais nul : le point ne s'immobilise donc pas dans le calcul.

Cette condition rend la direction tangente lisible partout. Elle porte sur la manière de parcourir la courbe, pas seulement dans la représentation obtenue : un même arc peut avoir un paramétrage admissible et un autre qui ne l'est pas.

Soit un intervalle I et une application dérivable γ qui associe à chaque paramètre t un point du plan. Ce paramétrage est admissible, ou régulier, lorsque son vecteur dérivé ne s'annule en aucun point de I : ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\ne }(0,0)\text{pour tout }t\in I\backslash gamma\text{'}(t)\backslash neq(0,0)\backslash quad\backslash text\{pour\; tout\; \}t\backslash in\; I$. Dans l'espace, le vecteur nul comporte autant de coordonnées que l'espace considéré.

Le vecteur γ′(t) indique la direction du mouvement et sa norme donne la vitesse. Sa non-nullité fournit une droite tangente dirigée par γ′(t). Sous les hypothèses de régularité et de rectifiabilité nécessaires, on peut aussi définir localement une abscisse curviligne ; les autres grandeurs différentielles, notamment la courbure, exigent la régularité correspondante.

Si γ est un paramétrage admissible défini sur I et si φ est une application dérivable d'un intervalle I′ dans I dont la dérivée ne s'annule pas, alors la reparamétrisation γ∘φ reste admissible. Sur un intervalle, φ′ garde alors un signe constant : un signe positif conserve l'orientation, tandis qu'un signe négatif la renverse. L'admissibilité seule ne choisit donc pas le sens de parcours.

On considère, pour t compris entre −1 et 1, le point γ(t) de coordonnées (t, t²). La courbe tracée est un arc de parabole. Les données sont l'intervalle [−1, 1] et les deux fonctions coordonnées t et t².

1. On dérive chaque coordonnée : γ′(t) = (1, 2t).
2. On calcule la norme du vecteur vitesse : $\parallel {\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel =\sqrt{1+4t^2}\backslash lVert\backslash gamma\text{'}(t)\backslash rVert=\backslash sqrt\{1+4t^2\}$.
3. Cette norme est au moins égale à 1 pour tout t de l'intervalle.
4. Elle n'est donc jamais nulle : le paramétrage est admissible.

Au point obtenu pour t = 0, le vecteur dérivé vaut (1, 0) : la tangente est horizontale. Le contrôle est refaisable sans racine carrée, car la première coordonnée de γ′(t) vaut toujours 1 et empêche le vecteur d'être nul. La figure rend visibles l'arc, trois positions paramétrées et cette tangente.

Pour contrôler une courbe paramétrée, on dérive ses coordonnées puis on cherche si elles peuvent s'annuler simultanément. Si c'est impossible sur l'intervalle étudié, le paramétrage est admissible.

Pour construire une tangente au paramètre t, on utilise γ′(t) comme vecteur directeur. Si ce vecteur est nul, cette recette ne donne aucune direction ; il faut examiner la courbe autrement ou choisir un meilleur paramétrage.

Pour mesurer une longueur le long d'un arc régulier, on peut remplacer le paramètre initial par l'abscisse curviligne. Ce choix donne une vitesse de norme 1 et simplifie l'étude de la tangente et de la courbure.

Admissible ne signifie pas injectif. L'admissibilité teste la non-nullité du vecteur dérivé ; l'injectivité exige que deux paramètres distincts ne donnent pas le même point. Le paramétrage du cercle par (cos t, sin t) est admissible, mais les paramètres 0 et 2π donnent le même point si les deux bornes sont incluses.

Admissibilité et orientation sont deux informations distinctes. Le changement de paramètre t ↦ −t conserve une dérivée non nulle, mais inverse le sens de parcours. Le signe de la dérivée du changement de paramètre tranche : positif pour conserver le sens, négatif pour le renverser.

Un arrêt du paramètre ne prouve pas une singularité de l'arc. Pour β(u) = (u³, u⁶), le vecteur β′(0) est nul. Pourtant, l'image est le même arc de parabole que γ(t) = (t, t²). Il faut alors changer de paramétrage plutôt que conclure que l'arc n'a pas de tangente.

La non-nullité doit valoir partout. Une vitesse non nulle sauf en un seul paramètre ne suffit pas : ce paramètre est précisément un point où le paramétrage cesse d'être admissible. On peut restreindre l'étude aux sous-intervalles qui excluent ce point ou rechercher une reparamétrisation régulière.

La courbure demande davantage qu'une dérivée non nulle. L'admissibilité assure la direction tangente, mais la formule usuelle de la courbure fait aussi intervenir une dérivée seconde. Si celle-ci n'existe pas, il faut annoncer une régularité insuffisante au lieu d'appliquer la formule.

L'abscisse curviligne montre comment paramétrer un arc régulier par la longueur parcourue, avec une vitesse de norme 1.

Le point de rebroussement aide à distinguer une singularité géométrique d'un simple arrêt causé par un mauvais paramétrage.