courbe gauche

Imaginez un trait tracé sur une feuille, puis un ressort qui monte en tournant. Le premier reste dans un plan ; le ressort, lui, explore réellement les trois dimensions. Sa ligne centrale est une courbe gauche : aucun plan unique ne peut la contenir tout entière.

En avançant sur cette ligne, la direction du mouvement change, mais le plan qui épouse au mieux la courbe change aussi d'orientation. Cette seconde rotation est décrite par la torsion. Une hélice circulaire rend ce phénomène visible sans irrégularité ni cassure.

Une courbe gauche est une courbe de l'espace qui n'est contenue dans aucun plan affine. On la décrit ici par une fonction vectorielle r du paramètre réel t vers l'espace à trois dimensions. Pour utiliser le trièdre de Frenet, la courbe doit être suffisamment régulière : sa vitesse r′(t) ne s'annule pas et sa courbure κ(t) est non nulle aux points étudiés.

Le vecteur tangent unitaire T indique la direction du mouvement. Le vecteur normal principal N pointe vers le côté où la trajectoire se courbe. Le vecteur binormal B = T × N complète un repère orthonormé. Le plan engendré par T et N est le plan osculateur ; B lui est perpendiculaire. La torsion τ mesure la rotation de B quand on avance selon la longueur d'arc s : $\frac{dB}{ds}=-\tau N\backslash frac\{dB\}\{ds\}=-\backslash tau\; N$. Son signe dépend de l'orientation choisie pour l'espace et de la convention du trièdre, mais pas d'un reparamétrage régulier de la même courbe.

Sur un intervalle connexe où la courbe est suffisamment régulière, où sa vitesse et sa courbure ne s'annulent pas et où la torsion est donc définie, une torsion identiquement nulle caractérise une courbe plane. Si un tel arc n'est contenu dans aucun plan, sa torsion est donc non nulle en au moins un point, sans devoir l'être en chaque point.

On rencontre des courbes gauches dans la ligne centrale d'un ressort hélicoïdal, dans une trajectoire spatiale ou dans l'intersection de deux surfaces. Selon la projection choisie, certains aspects peuvent suggérer une courbe gauche : elle semble monter ou descendre tout en tournant, passer devant puis derrière une même direction, ou changer de plan de courbure local le long du parcours. Ce sont seulement des indices visuels possibles, pas des critères mathématiques.

Une perspective dessinée ne suffit toutefois pas à prouver qu'une courbe est gauche : une courbe plane inclinée peut sembler sortir du plan. Il faut connaître ses coordonnées dans un même repère spatial ou établir qu'aucun plan ne contient tous ses points.

Lorsque la courbe est suffisamment régulière et que sa courbure κ ne s'annule pas, la torsion τ est définie. Si τ(t) est non nulle, la courbe n'est pas plane au voisinage du point considéré ; en revanche, une valeur nulle en un seul point ne permet pas de conclure. Son unité est l'inverse d'une longueur lorsque les coordonnées portent une unité. On peut la déterminer sans choisir le paramètre comme longueur d'arc.

1. Calculez successivement les trois dérivées vectorielles r′, r″ et r‴. 2. Vérifiez que le produit vectoriel r′ × r″ n'est pas nul au point considéré. 3. Formez le produit mixte des trois dérivées, puis divisez par le carré de la norme du produit vectoriel : $\tau (t)=\frac{\det (r^{\mathrm{\prime }}(t),r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t),r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t))}{\parallel r^{\mathrm{\prime }}(t)\times r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t){\parallel }^2}\backslash tau(t)=\backslash frac\{\backslash det(r\text{'}(t),r\text{'}\text{'}(t),r\text{'}\text{'}\text{'}(t))\}\{\backslash lVert\; r\text{'}(t)\backslash times\; r\text{'}\text{'}(t)\backslash rVert^2\}$.

Avec une orientation fixe de l'espace et la convention B = T × N, inverser le sens de parcours ne change pas τ ; une réflexion de l'espace en change le signe. La valeur |τ| décrit la vitesse de rotation du plan osculateur par unité de longueur. Une perspective très enroulée peut tromper l'œil : la bonne vérification porte sur les coordonnées ou sur ce calcul, pas sur l'apparence seule.

Considérons l'hélice r(t) = (2 cos t, 2 sin t, t), avec t en radians et des coordonnées en unités de longueur. Son rayon vaut 2 ; elle monte d'une unité par radian. Étudions t = 0.

1. Les dérivées sont r′(t) = (−2 sin t, 2 cos t, 1), r″(t) = (−2 cos t, −2 sin t, 0) et r‴(t) = (2 sin t, −2 cos t, 0).
2. À t = 0, le point est P = (2, 0, 0), la vitesse est (0, 2, 1) et l'accélération est (−2, 0, 0).
3. La vitesse a pour norme √5. On obtient T = (0, 2, 1)/√5, N = (−1, 0, 0) et B = (0, −1, 2)/√5.
4. Le plan osculateur passe par P et a B pour vecteur normal ; son équation est −y + 2z = 0.

Le produit mixte des trois dérivées vaut 4 et la norme au carré de r′ × r″ vaut 20. La torsion est donc τ = 4/20 = 1/5 par unité de longueur. La courbure vaut κ = 2/5 par unité de longueur. Ces deux valeurs constantes confirment que l'hélice se courbe et que son plan osculateur tourne régulièrement.

Pour modéliser un fil, un ressort ou une trajectoire, on choisit une courbe gauche lorsque les coordonnées montrent une évolution réelle dans trois directions. Une courbe plane suffit si tous les points vérifient la même équation de plan.

En cinématique, le trièdre de Frenet sépare la direction instantanée, le virage vers la normale et la rotation hors du plan osculateur. Un repère fixe reste préférable si la courbure s'annule, car la normale de Frenet n'est alors plus définie.

Dans un logiciel de géométrie ou de calcul, plusieurs vues et les coordonnées doivent être conservées. Une projection plane est utile pour afficher la trajectoire, mais elle peut masquer les croisements en profondeur et ne permet pas, à elle seule, de conclure sur la torsion.

Courbe gauche et courbe plane. Une courbe plane entière est contenue dans un plan affine, même si ce plan est incliné dans l'espace. L'hélice r(t) = (2 cos t, 2 sin t, t) ne vérifie aucune équation de plan unique et tranche la distinction.

Torsion et courbure. La courbure mesure le changement de la tangente ; la torsion mesure la rotation du plan osculateur. Un cercle de rayon 2 a une courbure 1/2 mais une torsion nulle, tandis que l'hélice de l'exemple a κ = 2/5 et τ = 1/5.

Courbe gauche et courbe qui se croise. Un dessin en huit peut avoir une auto-intersection tout en restant dans un plan. Le critère décisif n'est pas le croisement apparent, mais l'impossibilité de contenir toute la courbe dans un même plan.

Torsion nulle en un point. Ce seul constat ne rend pas toute la courbe plane. Il faut examiner la torsion sur un intervalle connexe régulier ; une nullité isolée peut survenir sur une courbe non plane.

Courbure nulle. Lorsque r′ × r″ = 0, la formule de la torsion a un dénominateur nul et le trièdre de Frenet n'est pas défini de cette manière. Il faut changer de repère mobile ou étudier les morceaux réguliers voisins.

Réunion de morceaux. Une courbe composée de deux arcs plans situés dans des plans différents peut n'être contenue dans aucun plan global, tout en présentant une jonction où les hypothèses de Frenet échouent. Le critère par la torsion exige donc les conditions de régularité annoncées.

Signe de la torsion. Remplacer t par −t inverse le parcours, mais conserve τ avec la formule donnée. Un signe opposé entre deux calculs invite plutôt à vérifier l'orientation du repère spatial, une éventuelle réflexion et la convention choisie pour B.

Le glossaire de la torsion détaille la grandeur qui mesure la rotation du plan osculateur le long d'une courbe spatiale.

L'entrée Hélice prolonge l'exemple conducteur et relie son rayon et son pas à sa géométrie.

Le plan osculateur précise le plan engendré localement par la tangente et la normale principale.