GéométrieNotion · Glossaire
Cartésiennes (coordonnées)
Les coordonnées cartésiennes sont un système de coordonnées qui spécifie la position d'un point dans l'espace par ses composantes signées selon des axes fixés depuis une origine. Introduites par Descartes au XVIIe siècle, elles permettent de ramener la géométrie à l'algèbre. Dans le plan, un point est repéré par deux coordonnées (x, y) ; dans l'espace à trois dimensions, par trois coordonnées (x, y, z). Ce système est le fondement de la géométrie analytique et permet d'exprimer des courbes et surfaces par des équations algébriques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de l’origine, des axes, des sens et des unités.
- Placer et contrôler le point A(3, −2) dans un repère orthonormé.
- Passer du couple (x, y) au triplet (x, y, z).
- Distinguer coordonnées cartésiennes, coordonnées polaires et point géométrique.
En clair
Sur une feuille quadrillée, deux axes perpendiculaires se croisent à l’origine. Pour atteindre le point A, on part de cette origine, on avance de 3 unités vers la droite, puis de 2 unités vers le bas. Le point reçoit alors le couple de coordonnées (3, −2).
Le premier nombre indique le déplacement horizontal ; le second indique le déplacement vertical. Le signe donne le sens du déplacement. Deux nombres suffisent ainsi à transformer une position dessinée dans le plan en données sur lesquelles on peut calculer.
Définition
Un système de coordonnées cartésiennes fixe une origine O, deux axes non parallèles, un sens positif sur chacun d’eux et une unité. Dans le plan, l’axe horizontal est couramment appelé axe des abscisses et l’axe vertical axe des ordonnées. Pour un point P, l’abscisse x mesure le déplacement signé selon le premier axe ; l’ordonnée y mesure le déplacement signé selon le second. Le couple ordonné (x, y) repère alors P de manière unique dans ce repère.
Lorsque les deux axes sont perpendiculaires et portent la même unité, le repère est orthonormé : les valeurs se lisent comme des longueurs orientées. Dans un repère orthogonal dont les axes ont des unités différentes, les coordonnées restent des nombres associés aux graduations, mais une même valeur numérique ne représente pas la même longueur dessinée sur les deux axes.
Dans l’espace à trois dimensions, un troisième axe non coplanaire avec les deux premiers ajoute la coordonnée z : un point est décrit par le triplet (x, y, z). Cette traduction des points en nombres fonde la géométrie analytique : une équation algébrique peut sélectionner tous les points d’une courbe dans le plan ou d’une surface dans l’espace.
Un exemple, pas à pas
Plaçons le point A de coordonnées (3, −2) dans un repère orthonormé d’origine O. Chaque graduation vaut une unité. La figure matérialise les deux déplacements signés et leurs projections sur les axes.
Données. L’abscisse vaut 3 et l’ordonnée vaut −2. Le sens positif est dirigé vers la droite sur l’axe horizontal et vers le haut sur l’axe vertical.
1. Depuis O, avançons de 3 unités dans le sens positif de l’axe horizontal. On atteint le point de coordonnées (3, 0).
2. Depuis (3, 0), descendons de 2 unités. Le déplacement est négatif sur l’axe vertical, donc l’ordonnée obtenue est −2.
3. Le point atteint est A(3, −2). Pour contrôler la lecture, projetons A sur les axes : la projection verticale rencontre l’axe horizontal à la graduation 3, et la projection horizontale rencontre l’axe vertical à la graduation −2.
En pratique
Sur un plan quadrillé, les coordonnées cartésiennes servent à placer un point ou à relever sa position. On lit toujours l’abscisse avant l’ordonnée, en tenant compte de l’origine, du sens et de l’unité de chaque axe.
Pour tracer une courbe donnée par une équation, on calcule des couples (x, y), puis on place les points correspondants. Ce repérage est naturel lorsque les directions horizontale et verticale jouent des rôles distincts.
Si une situation dépend surtout d’une distance à l’origine et d’un angle, des coordonnées polaires peuvent être plus directes. Le critère est visible : une symétrie de rotation favorise souvent le repérage polaire, tandis qu’un quadrillage rectangulaire favorise le repérage cartésien.
À ne pas confondre
Les coordonnées polaires repèrent un point du plan par une distance à l’origine et un angle, non par deux déplacements perpendiculaires. Le point A(3, −2) est immédiatement cartésien ; une écriture composée d’un rayon et d’un angle relève du repérage polaire.
Un point et un couple de coordonnées ne sont pas le même objet. Le point géométrique reste le même lorsqu’on déplace l’origine ou qu’on retourne un axe, mais son couple de nombres change. Le repère indiqué permet donc de trancher.
Limites et pièges
Ordre inversé. Le couple (3, −2) ne désigne généralement pas le même point que (−2, 3). Le premier nombre se lit sur le premier axe et le second sur le deuxième ; il faut conserver cet ordre.
Coordonnée nulle. Dans le plan, x = 0 place le point sur l’axe des ordonnées et y = 0 le place sur l’axe des abscisses. Si les deux coordonnées valent 0, le point est exactement l’origine.
Échelle ou sens modifié. Une graduation ne vaut pas nécessairement une unité de longueur dessinée, et le sens positif doit être annoncé. Avant de lire A(3, −2), il faut vérifier les graduations et les flèches des axes.
Repère absent. Un couple seul ne fixe aucune position absolue : il dépend d’une origine, d’axes, de leurs sens et de leurs unités. Il faut préciser le repère ou travailler seulement avec des relations qui ne dépendent pas du choix effectué.
Pour aller plus loin
L’article L’intérêt des coordonnées polaires montre quand une distance à l’origine et un angle décrivent plus naturellement une position.
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