quadrant - géométrie -

Imaginez deux droites graduées qui se croisent à angle droit : l'une est horizontale, l'autre verticale. Elles partagent la feuille en quatre zones, appelées quadrants. La zone supérieure droite est le quadrant I. En tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on rencontre ensuite les quadrants II, III et IV. La position d'un point se reconnaît alors au signe de ses deux coordonnées.

Dans un repère du plan, l'axe horizontal des abscisses et l'axe vertical des ordonnées déterminent quatre régions. Par convention courante, elles sont numérotées dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire inverse à celui des aiguilles d'une montre, à partir de la région supérieure droite. Le quadrant I contient les points dont l'abscisse et l'ordonnée sont positives. Dans le quadrant II, l'abscisse est négative et l'ordonnée positive. Dans le quadrant III, les deux coordonnées sont négatives. Dans le quadrant IV, l'abscisse est positive et l'ordonnée négative.

Les axes forment les frontières des quadrants. Un point situé sur un axe n'appartient donc à aucun quadrant au sens strict. L'origine, située à l'intersection des axes, n'appartient elle non plus à aucun quadrant. L'adjectif « orthonormé » garantit en plus que les axes sont perpendiculaires et portent la même unité, mais la répartition par signes existe dans tout repère cartésien usuel.

Sur un cercle centré à l'origine, les deux axes découpent aussi la circonférence en quatre arcs d'un quart de tour. Ces arcs héritent de la même numérotation I à IV. Cette extension concerne des arcs, tandis que les quadrants du plan sont des régions non bornées.

On veut situer le point P de coordonnées (−3 ; 2) dans un repère orthonormé. Les données sont son abscisse −3 et son ordonnée 2.

1. Lire l'abscisse : −3 est négatif, donc P se trouve à gauche de l'axe vertical.

2. Lire l'ordonnée : 2 est positif, donc P se trouve au-dessus de l'axe horizontal.

3. Croiser les deux informations : la zone située à gauche et au-dessus est le quadrant II. Le point P appartient donc au quadrant II.

Le contrôle consiste à parcourir les quadrants depuis le supérieur droit dans le sens trigonométrique : I, puis II dans la zone supérieure gauche. La position obtenue concorde avec les signes (− ; +).

Pour placer un point, on lit d'abord le signe de l'abscisse, puis celui de l'ordonnée. Cette méthode suffit pour choisir un quadrant ; on utilise les valeurs précises seulement pour fixer la position du point à l'intérieur de la région.

Pour situer une direction sur un cercle centré à l'origine, on observe le quart de tour qui la contient. Si la direction tombe exactement sur un axe, on la décrit par cet axe ou par son angle, car elle n'est à l'intérieur d'aucun quadrant.

Pour vérifier un dessin, les signes offrent un contrôle rapide. Le point P(−3 ; 2), par exemple, doit apparaître dans la zone supérieure gauche ; un tracé ailleurs révèle une inversion de signe ou d'axe.

Un quadrant géométrique n'est pas un quadrant de mesure. Le premier est une région du plan, ou un arc de quart de cercle ; le second est un instrument portant une graduation. Le critère décisif est la fonction de l'objet : situer des coordonnées renvoie au sens géométrique, relever une mesure avec un appareil renvoie à l'instrument.

Un quadrant n'est pas simplement un cadran. Un cadran est une surface munie de repères pour afficher ou lire une information et son découpage peut varier. Quatre régions déterminées par deux axes cartésiens relèvent, elles, des quadrants.

Point sur un axe. Si l'une des coordonnées vaut 0, le point est sur un axe et non dans un quadrant. Ainsi, (−3 ; 0) se situe sur l'axe horizontal ; il ne faut pas le classer dans les quadrants II ou III.

Origine. Si les deux coordonnées valent 0, le point est à l'intersection des axes. Il touche les frontières des quatre régions, mais n'appartient à aucun quadrant au sens strict.

Orientation du repère. Les appellations « supérieur » et « inférieur » supposent la représentation habituelle, avec les ordonnées positives vers le haut. Dans un dessin orienté autrement, les signes des coordonnées restent le critère fiable.

Région ou arc. Dans le plan, un quadrant est une région non bornée. Sur la circonférence d'un cercle centré à l'origine, le même mot peut nommer l'arc correspondant à un quart de tour. Le contexte indique lequel des deux objets est considéré.

Le cercle trigonométrique relie la numérotation des quadrants aux angles et aux signes des coordonnées sur un cercle orienté.

Les coordonnées cartésiennes approfondissent la manière dont une abscisse et une ordonnée déterminent la position d'un point dans le plan.