Autonome (équation différentielle)

Imaginez une quantité dont on observe l’évolution, par exemple une valeur x comprise entre 0 et 1. À chaque instant, son sens de variation dépend uniquement de sa valeur actuelle. Lorsque l’équation admet une solution unique pour chaque condition initiale, par exemple sous une hypothèse de régularité locale appropriée sur f, deux observations qui commencent avec la même valeur suivent donc la même évolution, même si elles ne commencent pas à la même date.

Une équation qui décrit ce mécanisme est autonome : le temps sert à parcourir la trajectoire, mais il n’intervient pas directement dans la règle d’évolution. Les valeurs où la variation devient nulle jouent le rôle d’équilibres.

Une équation différentielle autonome du premier ordre relie l’état présent à sa vitesse de variation sans faire apparaître explicitement la variable indépendante. Si t désigne le temps, x(t) l’état à l’instant t et f la règle d’évolution, elle s’écrit $x^{\mathrm{\prime }}(t)=f(x(t))x\text{'}(t)=f(x(t))$. La fonction f peut être scalaire, lorsque x est un nombre, ou vectorielle, lorsque x comporte plusieurs composantes. Dans ce second cas, on parle aussi de système autonome.

Une valeur a telle que $f(a)=0f(a)=0$ est un point d’équilibre : la fonction constante x(t) = a est alors une solution. Hors des équilibres, f détermine la direction et la vitesse du mouvement dans l’espace des phases. Une solution y dessine une orbite paramétrée par le temps.

L’absence explicite de t rend la règle invariante par translation temporelle. Si x est solution sur un intervalle I, alors, pour toute constante c, la fonction t ↦ x(t + c) est solution sur l’intervalle des t tels que t + c appartienne à I. Cette propriété ne garantit toutefois ni l’existence ni l’unicité d’une solution pour toute condition initiale : celles-ci dépendent de la régularité de f.

Une équation autonome réunit quatre éléments. La variable t ordonne l’évolution sans entrer dans la règle. L’état x(t) indique la position du système à cet instant. Sa dérivée x′(t) mesure la variation instantanée. Enfin, la fonction f associe à chaque état la variation qui doit s’y produire.

L’état alimente donc f, puis la valeur de f impose la dérivée de l’état. Les zéros de f donnent les équilibres, tandis que son signe, dans le cas scalaire, donne le sens de parcours entre eux. Une condition initiale, par exemple x(0) = 1/2, sélectionne une solution parmi celles compatibles avec la même règle lorsque le problème admet une solution unique. Ces données suffisent à construire une trajectoire et à étudier son orbite ; la couleur ou l’échelle choisie pour la tracer ne définissent pas l’équation.

On étudie une quantité sans unité x(t), comprise entre 0 et 1. Les données sont la règle $x^{\mathrm{\prime }}(t)=x(t)(1-x(t))x\text{'}(t)=x(t)(1-x(t))$ et la condition initiale x(0) = 1/2.

1. La règle ne contient pas t explicitement : l’équation est autonome.

2. Les équilibres annulent le produit x(1 − x). Ils sont donc x = 0 et x = 1. Entre ces valeurs, la dérivée est positive : la quantité augmente.

3. La solution correspondant à la donnée initiale est :

4. Le contrôle se refait directement. À t = 0, la formule donne 1/2. Sa dérivée vaut $\frac{e^t}{(1+e^t{)}^2}\backslash frac\{e^t\}\{(1+e^t)^2\}$, exactement comme le produit x(t)(1 − x(t)). La courbe augmente de l’équilibre 0 vers l’équilibre 1. Une translation t ↦ t + c fournit la même trajectoire parcourue avec une origine du temps décalée.

Pour reconnaître une équation autonome, on regarde le membre qui donne la dérivée. S’il ne dépend que de l’état, l’analyse peut commencer par les zéros et le signe de f. Si le temps apparaît aussi, il faut conserver cette dépendance et employer les outils d’une équation non autonome.

Pour prévoir le comportement sans calculer une formule complète, on place les équilibres sur une ligne de phase. Le signe de f entre deux équilibres indique le sens du mouvement. Une résolution explicite devient utile lorsqu’on cherche la valeur de l’état à un instant précis.

Pour comparer deux solutions décalées, on vérifie leur état plutôt que la date affichée. Dans l’exemple x′ = x(1 − x), toute solution non constante située entre 0 et 1 suit la même orbite ; sa condition initiale fixe l’endroit où se trouve l’origine du temps.

Une équation non autonome fait intervenir explicitement la variable indépendante dans sa règle. Ainsi, x′(t) = x(t)(1 − x(t)) est autonome, tandis que x′(t) = t + x(t) ne l’est pas : à état égal, la variation change avec t.

Une équation à variables séparables est définie par une méthode de résolution, pas par l’absence du temps. Une équation scalaire autonome peut se séparer là où f(x) ne s’annule pas, mais l’écriture y′ = g(t)h(y) est séparable même lorsque g dépend explicitement de t.

Une équation homogène relève d’un autre critère, dont le sens dépend du type d’équation étudié. Par exemple, x′ = x est à la fois linéaire homogène et autonome ; x′ = t x reste linéaire homogène mais n’est pas autonome.

Équilibre perdu par division. Séparer les variables en divisant par f(x) exclut les valeurs où f(x) = 0. Dans l’exemple, une division par x(1 − x) ferait disparaître les solutions constantes x = 0 et x = 1. Il faut donc étudier les zéros avant de diviser.

Translation et domaine. Écrire x(t + c) n’autorise pas à sortir du domaine de la solution. Si x n’est définie que sur un intervalle I, la solution décalée n’est définie que lorsque t + c appartient à I.

Autonome ne signifie pas toujours explicite. L’absence de t simplifie l’analyse qualitative, mais elle ne fournit pas nécessairement une formule élémentaire pour x(t). On peut alors étudier équilibres, signes et orbites, ou recourir à une approximation numérique.

Unicité à vérifier. L’équation autonome fixe la vitesse en chaque état, mais une fonction f insuffisamment régulière peut laisser plusieurs solutions passer par une même condition initiale. Avant d’identifier une orbite à une évolution unique, il faut vérifier une hypothèse locale d’unicité, telle qu’une condition de Lipschitz sur f.

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L’article Des équations différentielles en oncologie montre comment des équations différentielles interviennent dans un contexte de modélisation appliquée.