fonction d'Airy

Imaginez une courbe dont la courbure change avec l'endroit où on la regarde. L'équation d'Airy impose précisément ce lien : à chaque position, la courbure de la courbe doit être égale au produit de cette position par sa hauteur.

Deux courbes de référence, nommées Ai et Bi, suffisent pour composer toutes les solutions. Quand la position avance vers les grandes valeurs positives, Ai s'approche de zéro tandis que Bi grandit sans borne. Ce contraste permet de choisir la branche adaptée au comportement recherché.

Une fonction d'Airy est une solution de l'équation différentielle d'Airy. La variable x indique la position, la fonction inconnue y donne la valeur associée, et y'' désigne sa dérivée seconde, donc sa courbure algébrique. La relation exigée est :

Cette équation différentielle ordinaire est du second ordre. Ses deux solutions de référence Ai(x) et Bi(x) sont linéairement indépendantes. Si c₁ et c₂ désignent deux constantes, toute solution s'écrit comme leur combinaison : $y(x)=c_1\mathrm{Ai}(x)+c_2\mathrm{Bi}(x)y(x)=c\_1\backslash operatorname\{Ai\}(x)+c\_2\backslash operatorname\{Bi\}(x)$. Les constantes sont fixées par deux conditions compatibles et indépendantes portant sur la solution. Le comportement pour les grandes valeurs positives distingue nettement les deux branches : Ai(x) tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini, alors que Bi(x) diverge.

L'objet réunit cinq éléments. La variable x repère la position où l'équation est évaluée. La fonction y associe une valeur à cette position. Sa dérivée seconde y'' mesure la courbure algébrique. Le produit x·y relie cette courbure à la position et à la valeur de la fonction. Enfin, Ai et Bi forment deux solutions indépendantes qui servent de base.

La dépendance centrale est y'' = x·y : changer x ou y change la courbure requise. Les coefficients c₁ et c₂ dépendent ensuite des deux conditions imposées à la solution. L'équation et deux conditions compatibles et indépendantes suffisent à déterminer une combinaison particulière de Ai et Bi ; la couleur, l'échelle ou le tracé choisi pour sa courbe ne définissent pas la fonction.

On veut vérifier si la fonction candidate y définie par y(x) = x est une solution d'Airy sur l'intervalle allant de −2 à 2. Les données sont donc la candidate y(x) = x, l'intervalle −2 ≤ x ≤ 2 et le critère y'' − x·y = 0 en chaque point.

1. La dérivée première de y vaut 1, puis sa dérivée seconde vaut 0.

2. On remplace y et y'' dans le membre de gauche. Le résidu r, c'est-à-dire l'écart à zéro, vaut $r(x)=0-x\times x=-x^{2}r(x)=0-x\backslash times\; x=-x^2$.

3. Au point x = 0, le résidu vaut bien 0. Mais au point x = 1, il vaut −1 : la candidate échoue donc au critère sur l'intervalle et n'est pas une fonction d'Airy.

4. Un contrôle indépendant au point x = −2 donne r(−2) = −4, conformément à −(−2)². La courbe du résidu rend visible le piège : toucher zéro en un point ne suffit pas, car l'équation doit être satisfaite partout sur l'intervalle.

En optique ondulatoire, les fonctions d'Airy interviennent dans l'étude de l'arc-en-ciel. Elles sont pertinentes lorsque le modèle conduit précisément à l'équation y'' − x·y = 0 ; si l'équation obtenue diffère, il faut résoudre le modèle correspondant plutôt que lui appliquer automatiquement Ai ou Bi.

En mécanique quantique, elles apparaissent notamment pour l'effet tunnel et les puits de potentiel linéaire. Le comportement demandé tranche alors entre les branches : une solution qui doit s'annuler quand x tend vers plus l'infini retient Ai, tandis que Bi est écartée dans ce cas parce qu'elle diverge.

Pour vérifier une fonction proposée, le geste utile consiste à calculer y'', puis le résidu y'' − x·y. Un résidu identiquement nul valide l'équation sur le domaine étudié ; une seule valeur non nulle suffit à rejeter la candidate.

Une fonction d'Airy n'est pas l'équation d'Airy. L'équation est la contrainte y'' − x·y = 0 ; Ai, Bi et leurs combinaisons sont des fonctions qui la satisfont. Le test est direct : on remplace y et y'' dans la contrainte. Une expression dont le résidu n'est pas identiquement nul est une fonction possible, mais pas une solution de l'équation d'Airy.

Satisfaire l'équation en un point isolé ne suffit pas. Dans l'exemple y(x) = x, le résidu vaut 0 à x = 0, mais −1 à x = 1. Il faut vérifier qu'il est nul sur tout le domaine considéré.

Dire que Bi diverge lorsque x tend vers plus l'infini ne donne pas sa valeur en un point fini. Ce comportement asymptotique sert à choisir une branche selon une condition à l'infini ; il ne remplace pas les conditions nécessaires pour fixer les coefficients d'une solution particulière.

Enfin, Ai et Bi ne sont pas les seules écritures possibles d'une solution : toute combinaison c₁Ai + c₂Bi reste une solution. Il faut donc distinguer le choix d'une base de solutions du choix de la solution imposée par les conditions du problème.

L'article Ma première équation différentielle replace l'équation d'Airy dans la famille des équations qui relient une fonction à ses dérivées.

Pour prolonger l'application quantique mentionnée ici, Les espaces de Hilbert, un cadre pour la mécanique quantique présente le cadre mathématique général de cette théorie.