Histoire et cultureFormule · Glossaire
règle de L'Hospital
La règle de L’Hospital permet de calculer certaines limites indéterminées de quotients. Soient f et g continues sur un intervalle ouvert contenant a, dérivables sauf peut-être en a, avec f(a) = g(a) = 0 et g’ non nulle sauf peut-être en a : si f’/g’ admet une limite en a, alors f/g admet la même limite. Elle remplace ainsi l’étude d’un quotient 0/0 par celle, souvent plus simple, du quotient des dérivées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la forme 0/0 visée par l’énoncé fourni.
- Vérifier les hypothèses avant de former le quotient des dérivées.
- Calculer pas à pas la limite de (eˣ − 1)/x en 0.
- Distinguer la règle de L’Hospital de la dérivation d’un quotient.
En clair
Quand le numérateur et le dénominateur d’un quotient tendent tous deux vers zéro, leur rapport ne livre pas immédiatement sa limite. La règle de L’Hospital propose alors de regarder leur vitesse de variation : on dérive séparément les deux fonctions, puis on étudie le nouveau quotient.
Si les hypothèses de la règle sont satisfaites et si ce quotient des dérivées possède une limite, cette valeur est aussi celle du quotient initial.
Définition
La règle de L’Hospital est un résultat d’analyse consacré à certaines limites de quotients qui présentent la forme indéterminée 0/0. On considère deux fonctions réelles, notées f et g, au voisinage d’un nombre réel a. Elles sont continues sur un intervalle ouvert contenant a, dérivables en tout point de cet intervalle sauf éventuellement en a, et leurs valeurs en a sont nulles.
La fonction dérivée de g, notée g′, ne doit s’annuler en aucun point considéré, hormis éventuellement a. Si le quotient des dérivées admet une limite quand la variable x tend vers a, le quotient initial admet la même limite : . Le résultat se démontre à partir du théorème des accroissements finis. Il porte le nom de Guillaume de L’Hospital, mathématicien français du XVIIe siècle.
Le principe
Soient f et g deux fonctions réelles continues sur un intervalle ouvert contenant le point a, dérivables sauf peut-être en a, avec f(a) = g(a) = 0. La lettre L désigne la limite obtenue. Si g′ ne s’annule pas hors de a et si , alors .
Quand l'utiliser
La règle concerne ici un quotient de fonctions réelles au voisinage d’un point intérieur a. Il faut vérifier trois éléments : le numérateur et le dénominateur valent tous deux zéro en a ; les deux fonctions sont dérivables autour de a, sauf éventuellement au point lui-même ; la dérivée du dénominateur reste non nulle hors de a. Enfin, le quotient des dérivées doit admettre une limite.
Si, par exemple, le quotient des dérivées oscille sans limite, la règle ne donne aucune conclusion sur le quotient initial. Il faut alors revenir à une autre étude de limite, par encadrement, transformation algébrique ou comparaison adaptée au cas.
Un exemple, pas à pas
On cherche la limite en 0 du quotient formé par f(x) = ex − 1 et g(x) = x. Les données sont f(0) = 0 et g(0) = 0 ; le quotient présente donc la forme 0/0. Les fonctions sont dérivables autour de 0, et g′(x) = 1 ne s’annule pas.
1. On dérive séparément le numérateur et le dénominateur : f′(x) = ex et g′(x) = 1.
2. Le quotient des dérivées vaut donc ex.
3. Quand x tend vers 0, ex tend vers e0, soit 1.
4. La règle donne alors .
2. Le quotient des dérivées vaut donc ex.
3. Quand x tend vers 0, ex tend vers e0, soit 1.
4. La règle donne alors .
Le graphe du quotient rend ce résultat visible : la fonction n’est pas définie en 0, mais ses valeurs se rapprochent de 1 des deux côtés. Pour contrôler numériquement, on obtient environ 1,005 pour x = 0,01 et 0,995 pour x = −0,01.
En pratique
Devant une limite de quotient, on commence par remplacer la variable par la valeur visée lorsque les fonctions le permettent. Si le résultat est 0/0, la règle de L’Hospital devient une option, après vérification de ses hypothèses.
On dérive le numérateur et le dénominateur séparément : on n’applique pas la formule de dérivation d’un quotient. On calcule ensuite la limite du quotient obtenu, sans oublier que l’existence de cette nouvelle limite est une condition de la règle.
Une simplification algébrique est souvent préférable lorsqu’un facteur commun apparaît immédiatement. Elle donne alors la limite sans mobiliser un théorème dont toutes les hypothèses devraient être contrôlées.
À ne pas confondre
La dérivée d’un quotient. La règle de L’Hospital étudie une limite en formant f′/g′. Elle ne calcule pas la dérivée de f/g, qui obéit à une autre formule. Pour (ex − 1)/x, on examine donc ex/1, et non la dérivée complète du quotient.
Une simplification par un facteur commun. Si le quotient x2/x est étudié en 0, l’égalité x2/x = x pour x non nul suffit. La règle de L’Hospital donnerait aussi la limite, mais la simplification repose sur une identité algébrique, pas sur un quotient de dérivées.
Limites et pièges
La forme 0/0 ne suffit pas. Elle signale une indétermination, mais elle ne dispense jamais de vérifier la continuité, la dérivabilité et la non-nullité de la dérivée du dénominateur autour du point visé.
Le quotient des dérivées n’a pas de limite. Dans ce cas, la règle reste muette : elle n’affirme pas que le quotient initial diverge. Il faut changer de méthode au lieu de transformer l’absence de conclusion en conclusion négative.
Le point doit être intérieur au cadre énoncé. La version donnée ici suppose un intervalle ouvert contenant a. Une limite prise au bord d’un domaine ou d’un seul côté exige un énoncé adapté, et non l’application automatique de cette formulation.
Le quotient initial peut être indéfini en a. Ce n’est pas un obstacle : une limite décrit les valeurs au voisinage du point. Dans l’exemple, le quotient (ex − 1)/x n’existe pas pour x = 0, tandis que sa limite vaut 1.
Pour aller plus loin
La démonstration de la règle compare les variations de deux fonctions plutôt que leurs seules valeurs. Cette idée explique pourquoi le quotient des dérivées peut gouverner celui des fonctions près du point étudié.
Le théorème des accroissements finis fournit le résultat de comparaison dont découle la règle de L’Hospital.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres