l'Hospital Guillaume de

En 1696, Guillaume de l’Hospital publie en France un traité qui organise les idées nouvelles du calcul différentiel. Parmi les problèmes abordés figure la brachistochrone, la courbe de descente la plus rapide.

Son nom reste surtout associé à une règle de limites. Quand un quotient semble donner 0/0 ou ∞/∞, on compare les variations du numérateur et du dénominateur grâce à leurs dérivées. Cette nouvelle comparaison peut révéler la limite cachée. L’attribution demande toutefois une nuance essentielle : la règle provenait en réalité de Johann Bernoulli, avec qui l’Hospital avait conclu un accord financier.

Guillaume François Antoine de l’Hospital (1661-1704), comte d’Autremont et marquis de Saint-Mesme, est un mathématicien français. Élève de Johann Bernoulli, il contribue à introduire en France les idées nouvelles du calcul différentiel. En 1696, il publie Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, présenté comme le premier traité systématique de calcul différentiel en français. La source associe aussi cet ouvrage au premier emploi du terme « intégrale » et à des problèmes posés par Bernoulli, notamment celui de la brachistochrone.

La règle attachée à son nom traite certaines limites d’un quotient. Notons f la fonction placée au numérateur et g celle du dénominateur. Au voisinage du point étudié, les deux fonctions doivent être dérivables, la dérivée de g doit rester non nulle, et le quotient doit présenter une forme 0/0 ou ∞/∞. Si le quotient des dérivées possède une limite, finie ou infinie, la règle permet alors d’obtenir la limite suivante : ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}\backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}$. Les hypothèses doivent être vérifiées avant cette substitution.

Le nom usuel ne suffit donc pas à établir l’auteur du résultat. Les recherches historiques mentionnées par la source attribuent la règle à Johann Bernoulli ; l’Hospital en avait acquis les résultats dans le cadre d’un accord financier. Il faut distinguer la diffusion du résultat dans un traité français, son appellation traditionnelle et son attribution historique.

Cherchons la limite, quand x tend vers 1, du quotient de numérateur f(x) = x² − 1 et de dénominateur g(x) = x − 1. Les données sont le point a = 1, les fonctions f et g, et leurs dérivées f′(x) = 2x et g′(x) = 1.

1. Remplaçons x par 1 dans les deux fonctions : f(1) = 0 et g(1) = 0. Le quotient présente donc la forme indéterminée 0/0 ; ce constat autorise l’examen de la règle, mais il ne donne pas encore la limite.

2. Pour x voisin de 1, les fonctions sont dérivables et g′(x) = 1 ne s’annule pas. Le quotient des dérivées vaut $\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}=\frac{2x}{1}=2x\backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=\backslash frac\{2x\}\{1\}=2x$.

3. Lorsque x tend vers 1, 2x tend vers 2. La règle donne donc ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\backslash lim\_\{x\backslash to1\}\backslash frac\{x^2-1\}\{x-1\}=2$. La courbe associée suit la droite y = x + 1, sauf au point d’abscisse 1 où le quotient initial n’est pas défini.

4. Contrôlons par une autre méthode. Pour x différent de 1, x² − 1 = (x − 1)(x + 1), donc le quotient se simplifie en x + 1. Sa limite en 1 vaut bien 2. Cette vérification confirme le résultat sans utiliser la règle.

Devant une limite de quotient, on commence par examiner séparément le numérateur et le dénominateur. Si tous deux tendent vers 0, ou tous deux vers l’infini, la règle de l’Hospital devient une méthode possible après vérification de ses hypothèses.

Lorsque le numérateur se factorise, une simplification directe est souvent préférable. Dans l’exemple, l’identité x² − 1 = (x − 1)(x + 1) fournit aussitôt la limite et sert de contrôle au calcul par les dérivées.

Dans un texte historique, on sépare enfin trois questions observables : le résultat mathématique, le livre qui l’a diffusé et la personne qui l’a établi. Le nom « règle de l’Hospital » désigne l’usage courant ; la source attribue le résultat à Johann Bernoulli.

Guillaume de l’Hospital et la règle de l’Hospital. Le premier est le mathématicien français né en 1661 ; la seconde est une méthode de calcul de limites. Un texte sur sa publication de 1696 relève de la biographie, tandis qu’un quotient 0/0 relève de la règle.

Forme indéterminée et division par zéro. Écrire 0/0 décrit le comportement simultané de deux fonctions dans une limite ; ce n’est pas une valeur attribuée au quotient. Dans l’exemple, le quotient est indéfini en x = 1, mais sa limite existe et vaut 2.

Règle de l’Hospital et dérivée d’un quotient. La règle remplace un quotient de fonctions par un quotient de leurs dérivées pour étudier une limite admissible. Elle n’affirme pas que la dérivée de f/g est f′/g′ ; cette dernière égalité est en général fausse.

La seule forme 0/0 ne suffit pas. Elle signale une indétermination, non une réponse automatique. Il faut encore contrôler la dérivabilité au voisinage considéré, la non-annulation de g′ et l’existence de la limite du quotient des dérivées.

Une autre forme demande d’abord une transformation. La règle vise directement les quotients de type 0/0 ou ∞/∞. Une différence ∞ − ∞ ou un produit 0 × ∞ ne répond pas à ce critère ; il faut les réécrire en quotient admissible, si cette réécriture est possible.

Le quotient initial peut converger sans que la règle conclue. Lorsque x tend vers +∞, le quotient (x + sin x)/x tend vers 1. Pourtant, le quotient des dérivées vaut 1 + cos x et n’a pas de limite. Ici, une estimation directe convient mieux.

Répéter la règle exige un nouveau contrôle. Si le premier quotient de dérivées donne encore 0/0 ou ∞/∞, chaque nouvelle application doit satisfaire les mêmes conditions. Une répétition mécanique peut masquer une dérivée nulle ou une limite inexistante.

La fiche règle de L'Hospital recentre la lecture sur la méthode de calcul des limites et ses conditions d’emploi.

Le problème de la brachistochrone développe le problème de la courbe de descente la plus rapide cité parmi les travaux liés à Bernoulli.