AnalyseNotion · Glossaire
forme indéterminée
En analyse, une forme indéterminée désigne une expression dont on cherche la limite au voisinage d'un point fini ou à l'infini, et pour laquelle les règles élémentaires de calcul des limites ne permettent pas de conclure directement. Les formes indéterminées classiques sont : 0/0, ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 0⁰, ∞⁰, et 1∞. La présence d'une telle forme signale que les comportements limites des termes ne suffisent pas à conclure : leur vitesse relative d'évolution devient décisive. Pour lever l'indétermination, on recourt à diverses techniques : règle de L'Hôpital, développements limités, factorisation, changements de variables ou passage à l'exponentielle. L'étude des formes indéterminées est un passage obligé du calcul différentiel et de l'analyse élémentaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une forme indéterminée d'un résultat de limite ou d'une division par zéro.
- Reconnaître les sept formes classiques.
- Lever un cas 0/0 par factorisation et contrôler le résultat des deux côtés.
- Choisir une famille de transformations adaptée à la structure de l'expression.
En clair
Imaginez un quotient dont le numérateur et le dénominateur se rapprochent tous deux de zéro. Écrire aussitôt « zéro divisé par zéro » ne donne pas la limite. Selon la vitesse à laquelle les deux quantités diminuent, le quotient peut s'approcher d'un nombre, devenir arbitrairement grand ou ne pas avoir de limite.
La forme 0/0 est donc un signal d'enquête, pas un résultat. Il faut transformer l'expression pour révéler quel terme l'emporte ou si les deux évoluent au même rythme.
Définition
Une forme indéterminée apparaît pendant le calcul d'une limite lorsque les limites séparées des éléments de l'expression ne suffisent pas à déterminer la limite de l'ensemble. Elle concerne une variable qui tend vers un point fini ou vers l'infini. Les sept formes classiques sont 0/0, ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 00, ∞0 et 1∞. Le symbole ∞ décrit ici un comportement sans borne ; ce n'est pas un nombre que l'on pourrait manipuler par les règles ordinaires.
Reconnaître l'une de ces écritures n'établit donc aucune valeur. Cela indique une compétition entre plusieurs termes : leur vitesse relative d'évolution devient décisive. Deux expressions présentant la même forme peuvent avoir des limites différentes, voire aucune limite.
Pour lever l'indétermination, on transforme l'expression sans changer son comportement au voisinage étudié. Selon sa structure, on peut factoriser, employer un développement limité, effectuer un changement de variable ou passer à l'exponentielle. La règle de L'Hôpital traite certains quotients de formes 0/0 ou ∞/∞ lorsque ses hypothèses sont satisfaites.
Un exemple, pas à pas
On considère une variable réelle x qui s'approche de 1 et le quotient . Les données sont le point visé, 1, et deux valeurs de contrôle, 0,9 et 1,1. Le quotient n'est étudié que pour x différent de 1.
1. La substitution directe donne un numérateur égal à 12 − 1 = 0 et un dénominateur égal à 1 − 1 = 0. On reconnaît la forme indéterminée 0/0.
2. Le numérateur se factorise : .
3. Puisque x est différent de 1 pendant l'approche, le facteur x − 1 se simplifie. Le quotient est alors égal à x + 1.
4. Lorsque x tend vers 1, x + 1 tend vers 2. Ainsi, , sans unité. La courbe est celle de la droite d'équation y = x + 1, privée du point de coordonnées (1 ; 2) ; ce trou n'empêche pas la limite d'exister.
Le contrôle est refaisable des deux côtés : pour x = 0,9, le quotient simplifié vaut 1,9 ; pour x = 1,1, il vaut 2,1. Ces deux résultats encadrent 2 et s'en rapprochent.
En pratique
Avec un quotient de polynômes. Si la substitution produit 0/0, on cherche d'abord un facteur commun. La factorisation est préférable à la règle de L'Hôpital lorsqu'une simplification exacte, comme x − 1 dans l'exemple, apparaît immédiatement.
Avec des fonctions dérivables. Pour un quotient de forme 0/0 ou ∞/∞, la règle de L'Hôpital peut être envisagée si ses hypothèses sont vérifiées. Un développement limité est souvent plus informatif lorsqu'il faut comparer plusieurs ordres de petitesse.
Avec un produit, une différence ou une puissance. On commence par réécrire l'expression. Un produit 0 × ∞ peut devenir un quotient, une différence ∞ − ∞ une fraction commune, et une puissance indéterminée se traite souvent par le logarithme puis l'exponentielle.
À ne pas confondre
Une forme 0/0 et une division par zéro. La division par zéro est une opération non définie. La forme 0/0 concerne au contraire des valeurs prises près du point visé : dans l'exemple, le quotient existe pour x ≠ 1 et sa limite vaut 2, même s'il n'est pas défini en x = 1.
Une forme indéterminée et une limite infinie. Une limite égale à +∞ est une conclusion sur la croissance d'une expression. Une écriture telle que ∞/∞ n'est qu'un constat intermédiaire : elle ne dit pas encore si le quotient tend vers zéro, un nombre fini ou l'infini.
Limites et pièges
S'arrêter à 0/0. Le symptôme est une substitution qui produit cette écriture, aussitôt présentée comme la réponse. Il faut poursuivre la transformation : au point charnière x = 1 de l'exemple, la factorisation révèle la limite 2.
Simplifier au point interdit. Dans l'exemple, l'égalité avec x + 1 vaut seulement pour x ≠ 1. Cela suffit pour la limite, qui dépend des valeurs voisines, mais ne rend pas le quotient initial défini en 1. Il faut conserver cette restriction pendant le calcul.
Appliquer directement L'Hôpital à toute forme. Les formes 0 × ∞, ∞ − ∞ et les puissances indéterminées ne sont pas des quotients 0/0 ou ∞/∞. Il faut d'abord les réécrire dans une forme adaptée, puis vérifier les hypothèses de la méthode choisie.
Confondre comportement d'un côté et limite complète. Une transformation algébrique ne dispense pas de vérifier les deux côtés lorsque le domaine ou le signe change au point étudié. Si les comportements à gauche et à droite diffèrent, la limite bilatérale n'existe pas.
Pour aller plus loin
règle de L'Hospital — Pour étudier la méthode de dérivation applicable à certains quotients 0/0 ou ∞/∞.
Développements limités — Pour comparer les premiers termes utiles et identifier celui qui gouverne une limite.
Limite à gauche — Pour vérifier séparément le comportement d'une fonction avant le point étudié.
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