AlgèbreNotion · Glossaire
Différentielle
La différentielle d'une fonction f en un point a est l'application linéaire qui approche le mieux la variation de f au voisinage de a. Pour une fonction d'une variable réelle, la différentielle en a est l'application linéaire h ↦ f'(a)h. Pour une fonction de plusieurs variables, la différentielle est l'application linéaire représentée par la matrice jacobienne. La notion de différentielle constitue la base du calcul différentiel et se généralise aux variétés différentiables.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la différentielle comme meilleure approximation linéaire locale.
- Calculer une différentielle de deux variables et contrôler son erreur.
- Distinguer différentielle, dérivées partielles, jacobienne et équation différentielle.
En clair
Imaginez une surface dont la hauteur dépend de deux réglages. Autour d'un point choisi, une petite modification de ces réglages fait varier la hauteur presque comme sur un plan incliné. La différentielle est la règle linéaire qui donne cette variation prévue.
Pour la fonction f(x, y) = x² + xy près du point (1, 2), elle combine les petits déplacements selon x et y. Plus on se rapproche du point, plus l'écart entre cette prévision et la variation réelle devient négligeable devant la taille du déplacement.
Définition
Soient deux espaces vectoriels normés E et F, une fonction f définie d'une partie ouverte de E vers F, et un point a de cette partie. La fonction f est différentiable en a s'il existe une application linéaire continue, notée d fa, qui décrit la partie du premier ordre de la variation de f. Pour un petit vecteur h de E, la condition précise est :
Cette application est unique. Pour une fonction réelle d'une variable réelle, elle envoie l'accroissement h sur f′(a)h. En dimension finie, après choix de bases, sa matrice est la matrice jacobienne formée des dérivées partielles au point a. L'existence de toutes les dérivées partielles en un point ne suffit cependant pas, à elle seule, à assurer la différentiabilité. Sur une variété différentiable, la même idée devient une application linéaire entre les espaces tangents.
Un exemple, pas à pas
On considère la fonction de deux variables f définie par f(x, y) = x² + xy, le point a = (1, 2) et le déplacement h = (0,1 ; −0,2). La valeur initiale est f(1, 2) = 3.
1. Les dérivées partielles de f par rapport à x et à y valent respectivement 2x + y et x. Au point a, elles valent donc 4 et 1.
2. La différentielle applique le déplacement h selon la formule suivante :
La valeur prévue est donc 3,2.
La valeur prévue est donc 3,2.
3. Le calcul exact au point déplacé donne f(1,1 ; 1,8) = 1,1² + 1,1 × 1,8 = 3,19. La variation réelle est 3,19 − 3 = 0,19.
4. L'erreur de la prévision linéaire vaut 3,20 − 3,19 = 0,01. Pour contrôler le calcul, on suit le même déplacement multiplié par un nombre t : la valeur exacte est 3 + 0,2t − 0,01t², tandis que la différentielle prévoit 3 + 0,2t. Leur écart, 0,01t², décroît plus vite que la taille du déplacement lorsque t tend vers zéro.
En pratique
Pour estimer rapidement une nouvelle valeur, on calcule la différentielle à partir du déplacement observé. Si le déplacement est trop grand ou si la fonction se courbe fortement, on préfère le calcul exact ou une approximation d'ordre supérieur.
Pour propager de petites incertitudes de mesure, on applique la différentielle aux variations possibles des entrées. Si une garantie rigoureuse est nécessaire, une majoration de l'erreur ou un calcul par intervalles remplace cette estimation locale.
Pour rechercher un extremum intérieur d'une fonction différentiable à valeurs réelles, on repère les points où la différentielle est nulle. Ce critère ne conclut pas à lui seul : sur une frontière ou en un point non différentiable, il faut examiner d'autres conditions.
À ne pas confondre
Différentielle et dérivée partielle. Une dérivée partielle mesure la variation le long d'une seule coordonnée. La différentielle combine simultanément toutes les directions : pour f(x, y) = x² + xy au point (1, 2), les nombres 4 et 1 sont les dérivées partielles, tandis que h ↦ 4hx + hy est la différentielle.
Différentielle et matrice jacobienne. La différentielle est une application linéaire indépendante du choix de coordonnées. Sa matrice jacobienne est sa représentation après avoir choisi des bases. Un changement de bases modifie la matrice, pas l'application linéaire elle-même.
Différentielle et équation différentielle. La première est l'approximation linéaire locale d'une fonction. Une équation différentielle impose au contraire une relation entre une fonction inconnue et ses dérivées ; résoudre y′ = y ne consiste pas à calculer une différentielle en un point.
Limites et pièges
Des dérivées partielles ne suffisent pas toujours. Une fonction peut posséder toutes ses dérivées partielles en un point sans y être différentiable. Il faut contrôler l'erreur dans toutes les directions à la fois, par la condition portant sur le reste négligeable.
Une différentielle nulle ne décrit pas tout le voisinage. Pour la fonction d'une variable x ↦ x³, la différentielle en 0 est nulle, mais la fonction n'est pas localement constante et 0 n'est pas un extremum. Il faut étudier les termes d'ordre supérieur ou le signe des variations.
L'approximation est locale. Dans l'exemple f(x, y) = x² + xy, l'erreur le long du déplacement t(0,1 ; −0,2) vaut exactement 0,01t² en valeur absolue. Doubler t multiplie donc l'erreur par quatre, et non par deux.
Une jacobienne exige des coordonnées. Dans des espaces normés de dimension infinie, la différentielle reste une application linéaire continue sans être décrite par une matrice finie. Sur une variété, elle agit entre espaces tangents ; il faut alors préciser les cartes ou raisonner sans coordonnées.
Pour aller plus loin
La fiche application linéaire précise la structure que possède toute différentielle et les propriétés qu'elle doit respecter.
La fiche matrice jacobienne montre comment représenter la différentielle d'une fonction de plusieurs variables dans des bases choisies.
La fiche Dérivée partielle détaille les variations coordonnées qui fournissent les coefficients de la jacobienne lorsque la différentiabilité est établie.
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