AnalyseThéorème · Glossaire
théorème de Schwarz
Le théorème de Schwarz, dû à Hermann Schwarz, est un énoncé d'analyse concernant les dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables réelles. Soit f une fonction numérique de n variables définie sur un ouvert U de R^n. Si f est de classe Cp dans un voisinage d'un point a de U, alors l'ordre dans lequel on effectue les dérivations successives par rapport aux différentes variables n'influe pas sur le résultat : la dérivée partielle d'ordre p est indépendante de l'ordre de dérivation choisi. Autrement dit, les dérivées partielles mixtes d'ordre p sont égales dès lors que la condition de continuité est vérifiée. Cet énoncé est formulé ici pour les fonctions de plusieurs variables réelles ; une généralisation exige un cadre muni d'une structure différentiable appropriée. Cette hypothèse de continuité est suffisante pour appliquer le théorème, sans être nécessaire à l'égalité pour toute fonction particulière : Peano a montré par un contre-exemple que, sans cette condition, le résultat peut être mis en défaut.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses qui autorisent la permutation des dérivées partielles.
- Calculer une dérivée mixte dans les deux ordres sur un exemple polynomial.
- Distinguer le théorème de Schwarz du théorème de Cauchy–Schwarz.
- Repérer les situations où l'égalité ne peut pas être invoquée.
En clair
Imaginez une surface dont la hauteur dépend de deux réglages, x et y. On peut mesurer comment sa pente selon x change lorsque y varie, ou commencer par la pente selon y puis faire varier x. Le théorème de Schwarz affirme que ces deux parcours donnent la même valeur, à condition que la fonction soit assez régulière.
L'idée décisive n'est donc pas que l'ordre ne compte jamais : c'est la continuité des dérivées concernées qui autorise à permuter les dérivations.
Définition
Le théorème de Schwarz est un résultat d'analyse sur les dérivées partielles successives d'une fonction de plusieurs variables réelles. On considère une fonction numérique f définie sur un ouvert U de ℝn, et un point a appartenant à U. Une dérivée est dite mixte lorsque les dérivations successives portent sur plusieurs variables.
À l'ordre p, si f est de classe Cp dans un voisinage de a, les dérivées successives associées à un même multiensemble de p variables ont la même valeur en a, quel que soit l'ordre de ces variables. Pour deux variables x et y et à l'ordre deux, la conclusion s'écrit .
Le résultat est aussi associé au nom de Clairaut dans ce contexte analytique. Des formulations analogues existent dans des espaces vectoriels topologiques dotés d'un calcul différentiel approprié et sur des variétés différentiables, sous des hypothèses de régularité adaptées. La source souligne surtout la limite essentielle : sans l'hypothèse de continuité, l'égalité peut échouer, comme le montre un contre-exemple de Peano.
Le principe
Soit f une fonction de n variables réelles définie sur un ouvert U de ℝn, et soit a un point de U. Si f est de classe Cp dans un voisinage de a, alors, pour tout choix de p variables, toutes les dérivées successives obtenues en permutant l'ordre de ces mêmes variables ont la même valeur en a.
Pour p = 2 et deux variables x et y, on peut donc échanger x et y : .
Quand l'utiliser
Le cadre est celui d'une fonction numérique de plusieurs variables réelles, définie sur un ouvert : autour du point étudié, on doit pouvoir faire varier chaque variable dans les deux sens. Une condition suffisante est que f soit de classe Cp dans un voisinage du point où l'on veut permuter l'ordre des dérivations.
Ces conditions donnent l'indépendance par rapport à l'ordre de dérivation, et non l'existence automatique des dérivées. Si les dérivées mixtes existent mais que la continuité requise n'est pas établie, le théorème ne permet pas de conclure. Il faut alors calculer séparément les différents ordres ou appliquer un autre résultat dont les hypothèses sont vérifiées. Le contre-exemple de Peano montre que cette prudence est nécessaire.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie pour tous réels x et y par . On veut comparer les deux dérivées mixtes secondes au point de coordonnées (1, 2). La fonction est polynomiale : ses dérivées partielles existent et sont continues sur ℝ2.
1. Dérivons d'abord par rapport à x, puis par rapport à y.
2. Dérivons maintenant par rapport à y, puis par rapport à x.
3. Les deux expressions coïncident. Au point (1, 2), elles valent 6 × 1 × 22 + 3 = 27. Le contrôle est refaisable dans chaque branche : substituer x = 1 et y = 2 après la seconde dérivation conduit bien deux fois à 27.
En pratique
Dans un calcul de dérivées partielles, le théorème autorise à choisir l'ordre qui produit les expressions les plus simples. Ce gain n'est valable qu'après avoir vérifié la régularité demandée.
Pour contrôler un résultat, on peut calculer les deux ordres sur une fonction régulière. Une différence signale alors une erreur de dérivation ou de simplification. Si la continuité n'est pas assurée, cette comparaison devient au contraire un test direct : les deux calculs doivent rester séparés.
Le même principe permet de reconnaître la symétrie de la matrice des dérivées secondes, appelée matrice hessienne, lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites.
À ne pas confondre
Le théorème de Cauchy–Schwarz est une inégalité portant sur des produits scalaires ; il ne traite pas de l'ordre des dérivées partielles. Si l'énoncé compare un produit scalaire à des normes, il s'agit de Cauchy–Schwarz. Une permutation de dérivées mixtes relève généralement du théorème présenté ici lorsque ses hypothèses sont vérifiées.
Il ne faut pas non plus confondre ce résultat d'analyse, parfois appelé théorème de Schwarz–Clairaut, avec le théorème de Clairaut en géométrie. Le critère est le domaine : dérivées mixtes d'une fonction de plusieurs variables d'un côté, relations géométriques de l'autre.
Limites et pièges
Dérivées existantes mais continuité non vérifiée. L'existence des deux dérivées mixtes en un point ne suffit pas à invoquer automatiquement le théorème. Le symptôme est une preuve qui permute les symboles ∂ sans contrôler la régularité. Il faut vérifier l'hypothèse de continuité ou calculer chaque ordre séparément. Le contre-exemple de Peano établit que l'égalité peut être mise en défaut.
Point situé au bord du domaine. La formulation donnée suppose que le point a appartient à un ouvert U. Si le domaine n'offre pas de voisinage ouvert autour de a, les dérivées usuelles dans toutes les directions ne relèvent pas directement de cet énoncé. Il faut reformuler le problème sur un ouvert adapté ou employer des dérivées unilatérales appropriées.
Permutation au-delà de l'ordre contrôlé. Une hypothèse établie pour les dérivées d'ordre 2 n'autorise pas à permuter sans examen des dérivations d'ordre 3 ou davantage. Pour chaque ordre p, il faut contrôler l'existence et la continuité des dérivées de cet ordre dans le cadre retenu.
Pour aller plus loin
La fiche Dérivée partielle reprend l'opération élémentaire que le théorème autorise à enchaîner et, sous ses hypothèses, à permuter.
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