Serret Joseph Alfred

En 1861, au Collège de France, Joseph Alfred Serret enseigne la mécanique céleste. Deux ans plus tard, il devient professeur de calcul infinitésimal à la Sorbonne. Son nom reste surtout attaché à une manière de suivre une courbe dans l'espace.

Imaginez un point avançant sur un fil courbé. Trois flèches l'accompagnent : l'une indique la direction du mouvement, une autre le côté vers lequel le fil tourne, la troisième complète ce repère mobile. Les formules de Serret-Frenet relient leurs changements à la courbure et à la torsion.

Joseph Alfred Serret (1819-1885) est un mathématicien et astronome français, ancien élève de l'École Polytechnique, où il mène aussi une partie de sa carrière académique. Il devient professeur de mécanique céleste au Collège de France en 1861, puis professeur de calcul infinitésimal à la Sorbonne en 1863. Il prend sa retraite en 1871. Il appartient à l'Académie des Sciences et au Bureau des Longitudes. Ses travaux portent sur la géométrie différentielle des courbes de l'espace et sur les sous-groupes du groupe symétrique S_n.

Son nom est principalement associé aux formules de Serret-Frenet. Pour une courbe de classe C3, régulière, paramétrée par sa longueur d'arc, notée s, et de courbure strictement positive, le vecteur tangent unitaire T, le vecteur normal principal N et le vecteur binormal B forment un trièdre mobile. La courbure κ mesure le changement de direction de T. La torsion τ mesure la rotation du plan engendré par T et N.

Avec une convention d'orientation fixée, leurs variations s'écrivent : Avec un point et un trièdre initiaux, ces relations déterminent localement la forme d'une courbe à partir de la courbure et de la torsion, à un mouvement rigide près.

On considère l'hélice décrite par le paramètre réel t : $r(t)=(\cos t,\sin t,t)r(t)=(\backslash cos\; t,\backslash sin\; t,t)$. Les données sont sa dérivée $r^{\mathrm{\prime }}(t)=(-\sin t,\cos t,1)r\text{'}(t)=(-\backslash sin\; t,\backslash cos\; t,1)$ et sa vitesse constante √2.

1. On normalise la dérivée. Au point correspondant à t = 0, le vecteur tangent unitaire vaut $T=(0,1,1)\mathrm{/}\sqrt{2}T=(0,1,1)/\backslash sqrt\{2\}$.

2. La dérivée seconde vaut $r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=(-\cos t,-\sin t,0)r\text{'}\text{'}(t)=(-\backslash cos\; t,-\backslash sin\; t,0)$. À t = 0, elle donne le normal principal $N=(-1,0,0)N=(-1,0,0)$, puis le binormal $B=(0,-1,1)\mathrm{/}\sqrt{2}B=(0,-1,1)/\backslash sqrt\{2\}$. Une représentation de l'hélice et de ces trois vecteurs matérialise ce repère attaché à la courbe.

3. Pour la courbure, $\parallel r^{\mathrm{\prime }}(t)\times r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\parallel =\sqrt{2}\backslash lVert\; r\text{'}(t)\backslash times\; r\text{'}\text{'}(t)\backslash rVert=\backslash sqrt\{2\}$ et $\parallel r^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel =\sqrt{2}\backslash lVert\; r\text{'}(t)\backslash rVert=\backslash sqrt\{2\}$, donc $\kappa =\frac{\parallel r^{\mathrm{\prime }}\times r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\parallel }{\parallel r^{\mathrm{\prime }}{\parallel }^3}=\frac{1}{2}\backslash kappa=\backslash frac\{\backslash lVert\; r\text{'}\backslash times\; r\text{'}\text{'}\backslash rVert\}\{\backslash lVert\; r\text{'}\backslash rVert^3\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$. Pour la torsion, $r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=(\sin t,-\cos t,0)r\text{'}\text{'}\text{'}(t)=(\backslash sin\; t,-\backslash cos\; t,0)$ et $\det (r^{\mathrm{\prime }},r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})=1\backslash det(r\text{'},r\text{'}\text{'},r\text{'}\text{'}\text{'})=1$, tandis que $\parallel r^{\mathrm{\prime }}\times r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{\parallel }^2=2\backslash lVert\; r\text{'}\backslash times\; r\text{'}\text{'}\backslash rVert^2=2$ ; ainsi $\tau =\frac{\det (r^{\mathrm{\prime }},r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})}{\parallel r^{\mathrm{\prime }}\times r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{\parallel }^2}=\frac{1}{2}\backslash tau=\backslash frac\{\backslash det(r\text{'},r\text{'}\text{'},r\text{'}\text{'}\text{'})\}\{\backslash lVert\; r\text{'}\backslash times\; r\text{'}\text{'}\backslash rVert^2\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$. Ces deux valeurs sont constantes le long de l'hélice.

Le contrôle est direct : T, N et B ont chacun une norme égale à 1, et leurs produits scalaires deux à deux sont nuls. Ils forment donc bien un trièdre orthonormé mobile.

Dans un texte de géométrie différentielle, le nom de Serret signale souvent les formules de Serret-Frenet. Le bon geste consiste alors à repérer la courbe, son paramètre et la convention choisie pour la torsion avant d'utiliser les équations.

Pour étudier une courbe de l'espace, le trièdre mobile suit simultanément sa direction, sa courbure et sa torsion. Si la courbe est plane, la courbure et le couple tangent-normal suffisent souvent ; le binormal ne change plus de direction lorsque la torsion est nulle.

Dans un repère historique, il faut distinguer les domaines de travail de Serret. Son activité ne se limite pas à ces formules : la source mentionne aussi la mécanique céleste et les sous-groupes du groupe symétrique S_n.

Courbure et torsion. La courbure mesure le changement de direction de la tangente ; la torsion mesure le taux de rotation du plan tangent-normal le long de la courbe, par unité de longueur d'arc. Un cercle tranche la distinction : sa direction change, mais son plan reste fixe.

Trièdre mobile et repère fixe. Le trièdre de Serret-Frenet dépend du point parcouru sur la courbe. Un repère cartésien choisi pour décrire tout l'espace, lui, ne se déplace pas avec ce point.

Courbure nulle. Lorsque κ = 0 en un point, la tangente peut encore exister, mais le normal principal obtenu à partir de sa variation n'est plus déterminé par cette construction. Il faut employer un autre repère adapté.

Paramétrage quelconque. Les trois équations affichées utilisent la longueur d'arc s. Avec un autre paramètre, les dérivées acquièrent un facteur égal à la vitesse ; recopier les formules sans ce facteur produit un résultat faux.

Courbe insuffisamment régulière. Un angle ou un point où la vitesse s'annule interrompt la construction classique du trièdre. Il faut traiter séparément les branches régulières et ne pas attribuer un unique repère au point singulier.

Convention de signe. Le signe de la torsion dépend de l'orientation retenue pour le binormal. Avant de comparer deux calculs, il faut vérifier la définition de B et l'ordre du produit vectoriel.

La fiche Torsion approfondit l'invariant qui mesure la rotation du plan tangent-normal le long d'une courbe de l'espace.