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série double
En statistique, une série double associe, pour chaque individu d’une population, les valeurs de deux caractères observés simultanément ; elle permet d’étudier leur répartition conjointe, notamment dans un tableau à double entrée. En analyse, c’est une famille de nombres réels ou complexes indexée par deux entiers naturels, dont on étudie la somme. Pour une famille infinie, parler de convergence exige de préciser comment les sommes partielles tendent vers une limite, et changer l’ordre de sommation requiert des hypothèses adaptées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les couples de valeurs d’une série statistique double.
- Lire et contrôler des effectifs conjoints et marginaux dans un exemple de 12 personnes.
- Définir une famille à deux indices et ses sommes partielles rectangulaires.
- Savoir pourquoi l’ordre de sommation exige une précaution pour une série infinie.
En clair
Imaginons 12 personnes. Pour chacune, on note à la fois son moyen de transport — à pied ou en bus — et son inscription à un club — oui ou non. Chaque personne fournit donc un couple de réponses, et non deux listes séparées.
En croisant les deux caractères, on voit combien de personnes appartiennent à chaque combinaison. L’idée de double index réapparaît en analyse : un nombre est alors repéré par deux entiers, comme une case par sa ligne et sa colonne.
Définition
En statistique, une série double, aussi appelée série à deux variables, rassemble deux caractères observés simultanément sur chaque individu d’une même population. Une observation est un couple de valeurs. Un tableau à double entrée peut regrouper les effectifs : les lignes portent les modalités du premier caractère, les colonnes celles du second, et chaque case compte une combinaison. Les totaux par ligne ou par colonne sont les distributions marginales.
En analyse, on part d’une famille de scalaires réels ou complexes. Le terme situé aux indices entiers naturels k et l est noté . La série double cherche à donner un sens à la somme de tous ces termes. Pour des indices commençant à 1, la somme rectangulaire limitée aux m premières lignes et aux n premières colonnes est :
La convergence rectangulaire vers un scalaire S signifie que tend vers S lorsque m et n tendent indépendamment vers l’infini. Les sommes successives, ligne après ligne ou colonne après colonne, demandent des hypothèses supplémentaires pour être interchangeables.
De quoi c'est fait
Une série double s’organise autour de quatre éléments. Deux ensembles d’indices déterminent les lignes et les colonnes. À chaque couple d’indices correspond un terme réel ou complexe. Une règle explicite, ou un tableau de valeurs, détermine ces termes. Enfin, une famille de sommes partielles précise quelles portions finies sont additionnées avant le passage à la limite.
Les indices repèrent donc un terme, tandis que la forme des portions finies détermine le processus de sommation. Sans termes, il n’y a rien à additionner ; sans convention de sommes partielles, la convergence reste ambiguë. Dans une série statistique double, les deux caractères jouent le rôle des deux directions, les modalités fixent les lignes et colonnes, et les effectifs remplissent les cases. Ces données suffisent à calculer les totaux conjoints et marginaux. La couleur ou l’ordre d’affichage des cases ne définit pas la série.
Un exemple, pas à pas
On interroge 12 personnes sur deux caractères : le transport, à pied ou en bus, et l’inscription à un club, oui ou non. Les quatre effectifs observés sont 3, 2, 1 et 6. La matrice des effectifs place le transport en ligne et l’inscription en colonne :
1. Pour les personnes allant à pied, on additionne 3 + 2 = 5.
2. Pour celles prenant le bus, on obtient 1 + 6 = 7.
3. Pour les personnes inscrites au club, on calcule 3 + 1 = 4 ; pour les autres, 2 + 6 = 8.
4. Le total vaut 5 + 7 = 12, également 4 + 8 = 12.
2. Pour celles prenant le bus, on obtient 1 + 6 = 7.
3. Pour les personnes inscrites au club, on calcule 3 + 1 = 4 ; pour les autres, 2 + 6 = 8.
4. Le total vaut 5 + 7 = 12, également 4 + 8 = 12.
Le contrôle consiste à sommer les quatre cases : 3 + 2 + 1 + 6 = 12 personnes. Cette somme finie donne le même résultat par lignes ou par colonnes. La figure représente les mêmes données et rend visibles les deux parcours de sommation.
En pratique
Dans une enquête, on conserve les deux valeurs de chaque individu lorsque la question porte sur leur association. Deux séries simples séparées suffisent seulement si l’on veut étudier chaque caractère sans savoir quelles valeurs vont ensemble.
Pour des caractères qualitatifs, le tableau à double entrée fait apparaître les effectifs conjoints et marginaux. Avec deux caractères numériques, on garde plutôt la liste des couples afin de ne pas perdre les valeurs individuelles.
En analyse, on calcule d’abord des sommes partielles finies dont les bornes sont explicites. Si le résultat semble dépendre d’un parcours par lignes ou par colonnes, il faut étudier la convergence avant d’intervertir les deux sommations.
À ne pas confondre
Une série double et un tableau à double entrée. La série est l’ensemble des observations appariées ; le tableau est une représentation qui les regroupe. Le même tableau peut décrire les 12 personnes de l’exemple, mais il ne conserve pas leur identité individuelle.
Une famille double et sa série. La famille attribue un terme à chaque couple d’indices. La série double ajoute l’opération de sommation et la question de sa convergence. Connaître tous les termes ne garantit donc pas que leur somme infinie existe.
Deux séries simples et une série statistique double. Deux listes indépendantes ne disent pas quelles valeurs ont été mesurées sur le même individu. Si l’on permute une seule liste sans changer ses valeurs, les distributions séparées restent identiques, mais les couples observés changent.
Limites et pièges
Marges trompeuses. Les totaux de l’exemple, 5 et 7 par transport puis 4 et 8 par inscription, ne permettent pas de retrouver les quatre cases. Il faut conserver les effectifs conjoints pour étudier le lien entre les caractères.
Case nulle. Un effectif égal à 0 signifie qu’aucun individu observé n’occupe cette combinaison. Il ne prouve pas que la combinaison soit impossible dans toute la population ; il faut distinguer absence dans l’échantillon et impossibilité.
Ordre de sommation. Pour les quatre effectifs finis, additionner par lignes ou par colonnes donne exactement 12. Pour une infinité de termes, cet accord n’est plus automatique. La convergence absolue, c’est-à-dire la convergence de la série des valeurs absolues, autorise l’interversion ; sans elle, les sommes successives peuvent différer ou ne pas exister.
Limite à deux indices. Vérifier seulement le parcours diagonal m = n ne suffit pas à établir une limite rectangulaire. Il faut contrôler les sommes partielles lorsque les deux bornes deviennent grandes indépendamment, y compris avec des vitesses très différentes.
Pour aller plus loin
Le tableau à double entrée approfondit la lecture des lignes, des colonnes et des croisements qui représentent une série statistique double.
La convergence d’une série numérique fournit le cadre à un indice avant d’aborder les limites et les ordres de sommation à deux indices.
La convergence absolue donne la condition centrale qui sécurise l’interversion des deux sommations d’une série double.
La formule de Fubini replace l’échange des deux ordres dans un cadre plus général de calcul à deux variables.
L’article Attribuer une valeur… à une série divergente ! prolonge la réflexion sur ce qui peut être fait lorsqu’une sommation ordinaire ne converge pas.
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